四边形专题《二》

考点3：等腰梯形的性质和判定

一、考点讲解：

1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形

叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．

2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;

等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形

是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形． 4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个

矩形和两个全等直角三角形，如图l－4－26

（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和

一个等腰三角形．如图l－4－27．

（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，

如图l－4－28．

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个

顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图1－4－29．

二、经典考题剖析：

【考题3－1】如图l－4－30，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征： 【考题3－2】如图l－4－31有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为 10cm，∠D=120o，则该零件另一腰AB的长为____ _______（结果不取近似值）

【考题3－3】已知：在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形的高是_________cm．

【考题3－4】同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画图说明）. 【考题3－5】某生活小区的居民筹集资金1600元，计

划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）

⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。

⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？

⑶若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由。

三、针对性训练：

1．等腰梯形上底与高相等，下底是高的3倍，则底角

为（ ）

A．30o B．45 o C．60 o D．75 o 2．顺次连结梯形四边中点，所成的四边形是（ ）

A．梯形 B．矩形 C．平行四边形D．菱形 3．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，则腰与

下底的夹角为（ ）

A．60 o B．30 o C．45 o D．15 o 4．如图l－4－34，在直角梯形

ABCD中，AD∥BC，AB⊥ BC，△BCD是等边三角形，若BC=2，则AD=_______， AB=_______.

5．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，若 AD=15，BC=49，则腰AB=_______

6．已知梯形的上底为4，两腰分别为6和8，两底角

互余，则下底长为_________

7．如图l－4－35，在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=AD+BC，E是CD的中点，说明： （1）AE与1BE有怎样的位置关系？为什么？ （2）AE、BE是否是∠BAD和∠ABC的平分线？ 请说明理由．

8．如图l－4－36，在梯形ABCD中，AD⊥BC，AB=CD,

∠B＝60○

,AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长． 9．在四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，AC、BD 相交于O，AD≠BC，

（1）四边形ABCD是怎样的四边形？请说明理由． （2）若去掉已知条件中的AD∥BC，其他条件不变,

四边形ABCD又是怎样的四边形？说说你的理由．

10 已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC上BD，

AD=3cm，BC=7cm，求梯形的面积S.

11如图1－4－37，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B

＝ 90○

，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边 形、等腰梯形？

12 如图1－4－38，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB

=CD，∠ DBC＝45○

,翻折梯形使点B重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8，求BE的长．

考点4：多边形的内角和及外角和

一、考点讲解：

1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直

线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．

2．多边形的内角和：n边形的内角和=(n－2)180°． 3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多

边形叫做正多边形．

4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向

延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°．

5．过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形

共有

n(n?3)2条对角线． 6．过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形． 二、经典考题剖析：

【考题4－1】正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n边形的边数n=______

【考题4－2】四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？

（1）为了更直观的发现问题，我们不 妨先在特殊的四边形――平行四边形中，研究这个问题： 已知：在平行四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图①）；

求证：S△OBC·S△OAD=S△OAE·S△OCD.

（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。

已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图②）求证：_________________。

A D A O O D

B

①

C

B C

三、针对性训练：

②

1．n边形的每个内角等都等于120○

，则n等于_____ 2．一个正多边形的每个外角都是36○

，则这个多边

形是_________边形．

3．从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成 _______个三角形，n边形内角和为_________. 4．一个多边形的外角和等于它内角和的2

3

，则这个多

边形的边数为____________-.

5．一个多边形的内角与外角的总和为2160°， 则此

多边形是_________边形．

6．当多边形的边数由n增加到n＋1时，它的内角和

增加（ ） A．180○

B．270○

C．360

○

D．120○

7．下面角度中，不能成为多边形内角和的只有（ ）

A．540

○

B．280

○

C．1800

○

D．900○

8．若多边形的边数由3增加(n为正整数)，则其外角

和的度数（ ）

A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定 9．有两个多边形，它们边数的比为

l：2，内角和的比为1：4，能确定它们各是几边形吗？ 10 如图l－4－45，求∠A＋∠B＋

∠C＋∠D+∠E＋∠F+∠G的和．

11 如图l－4－46，求图中能用字

母表示的9个角的度数． 12 一个多边形的内角和比它的外

角和的3倍少180°,这个多边形的边数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

13 在学校的大操场，小明从A点出发向前直走50m，

向左转18°继续向前走50m，再左转18°他以同样走法回到A点时，共走了________m． 综合训练：

1、如图1－4－53，矩形ABCD中，AC与 BD交于 O点，BE⊥AC于 E，CF⊥BD于 F．求证：BE=CF．

2、如图l－4－54，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若 BC=12，DC＝7，BE：EC=1：2，求AB的长

3、如图1－4－58，Rt△ABC中，?A＝90?，AB＝4，AC＝3，D在BC上运动(不与B、C重合)，过D点分别向AB、Ac作垂线，垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为

________________

4、如图1－4－59，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠1＝_____度

5、如图1-4-63，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．

（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x范围． （2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与ΔPAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由

6、在平行四边形ABCD中, ∠B=110O,延长AD至F,延长CD至E,连接EF，则∠E+∠F的值为( ) (A)110 O (B)30 O (C)50 O (D)70 O 7、已知一个多边形的内角和是它的外角和的 3倍，那么这个多边形的边数是_________． 8、如图在矩 形ABCD中，点E、F分别在AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，A B=7cm，且A E：EB=5：2，则阴影部分的面积为_________㎝2.

9、如图1－4－73，已知等腰梯形ABCD中， AD∥BC， （1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长；（2）若AD=a，BC=b，梯形的高是 h，梯形的周长为C，则C=___________（请用含a、 b 、c的代数式表示，答案直接填在空格上，不要求证明) （3）若AD=3，BC=7，BD=5 5 ，

求证：AC⊥BD．

（探究题）如图如图1－4－79，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，

用t(秒）表示移动的时间（0＜t＜6），那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果

有关的结论

10、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°.分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF.

（1）求证：△ABE≌△FDA.

（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数.

11、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

12、梯形ABCD中，AD∥BC，E是BD的中点，F是AC的中点。

13、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝∠C＝90°，M在AB上，且MA＝MB，∠BMC＝75°，∠AMD＝45°。求证：BC＝CD。