函数的零点与二分法训练

函数的零点与二分法训练

【使用说明与学法指导】

1．自主梳理变号零点和不变号零点概念以及二分法的原理和步骤，找出本节的典型题目. 2．独立完成训练案，有困难的标记好.有余力的同学完成拓展提升. 【学习目标】

能利用二分法求函数零点的近似值 一、选择题

1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )

A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝lnx＋2x－6 C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1

2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定

3．函数f(x)＝x2－5的正零点的近似值(精确到0.1)是( ) A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.3 4．方程2

x－1

3. (2011届·宁夏石嘴山模拟)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点 的是 （ ）

解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间 [a,b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0，A、B中不存在f(x)<0,D中函数不连续.故选C. 答案：C

4.若函数f(x)?x2?2x?a没有零点，则实数a的取值范围是 （ ） A.a＜1 B.a＞1 C.a≤1 D.a≥1

2解析：函数f(x)?x2?2x?a没有零点，即方程x?2x?a?0没有实数根，故判别式Δ=4-4a

＜0,得a＞1,所以选B. 答案：B

5.函数f(x)=x+mx-6的一个零点是1，则m= A.5 B.-5 解析:由题意可得1+m-6=0,所以m=5. 答案：A

6.已知函数f(x)??

2

( )

C.6 D.-6

＋x＝5的解所在的区间是( )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 5.下列函数中在区间[1，2]上有零点的是（ ）

A.f(x)?3x?4x?5；B.f(x)?x?5x?5；C.f(x)?x?3x?6 ；D.f(x)?2?3x?6 6.若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0则（ ） A、f(x)在（0,1）内有零点 B、f(x)在（1,2）内有零点 C、f(x)在（0,2）内有零点 D、f(x)在（0,4）内有零点

1.已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为（ ） A.0 B.2 C.1 D.4

解析：因为f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，则与x轴的四个交点也关于y轴对称，所以所有零点之和为0. 答案：A

2.为了求函数f(x)?2?x的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x) A.（0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) 解析：因为f(1.8)·f(2.2)=0.24×(-0.24)<0,所以零点在（1.8,2.2)上.故选C. 答案：C

1

x2234x?x(x?4),x?0;则函数f(x)的零点个数为

?x(x?4),x?0. ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

28.若方2、若函数f(x)?ax?b的零点是2，则函数g(x)?bx?ax的零点是（ ）

111??A. 0，2 B. 0，2 C. 0，2 D. 2，2

3、已知偶函数f（x）的图象与x轴共有四个交点，则函数f（x）的所有零点之和等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

32**4、若函数f(x)?x?x?2x?2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f（1）＝－2 f（1.375）＝－0.260 f（1.5）＝0.625 f（1.4375）＝0.162 f（1.25）＝－0.984 f（1.40625）＝－0.054 32那么方程x?x?2x?2?0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）．

A. 1.4 B. 1.3 C. 1.2 D. 1.5

5、函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的零点为2，3，若2＜x＜3,则f（x）的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定正负

2A．3 B．2 C．1 D．0

3、如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，那么a的值是（ ） A．0

B．0 或1

C．1

D．不能确定

?x2?bx?c,x?0,若f(?4)?f(0),f(?2)??2,则关于x的方程f(x)?x*6、设函数f(x)??x?0.?2,解的个数为（ ）个

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2．若函数f?x?在区间?a,b?上为减函数，则f?x?在?a,b?上 ( ) A．至少有一个零点 B．只有一个零点 C．没有零点 D．至多有一个零点

3．用“二分法”求方程x?2x?5?0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0?2.5，那么下一个有根的区间是 。

4．若函数f?x?在?a,b?上连续，且有f?a?f?b??0．则函数f?x?在?a,b?上 ( ) A．一定没有零点 B．至少有一个零点 C．只有一个零点 D．零点情况不确定

5．设f?x??3?3x?8，用二分法求方程3?3x?8?0在x??1,2?内近似解的过程中得

xx34、.若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间（ ）

（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 5、已知x是函数f(x)=2x+

1的一个零点.若x1∈（1，x0）， 1?x，则（ ） x2∈（x0，+?）

（A）f(x1)＜0，f(x2)＜0 （B）f(x1)＜0，f(x2)＞0 （C）f(x1)＞0，f(x2)＜0 （D）f(x1)＞0，f(x2)＞0

6、设m，k为整数，方程mx?kx?2?0在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（ ）

（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13 9、若直线y?x?b与曲线y?3?4x?x2有公共点，则b的取值范围是 A． ??1,1?22? B. ?1?22,1?22?

2f?1??0,f?1.5??0,f?1.25??0,则方程的根落在区间 （ ）

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定

1下列关于二分法的叙述,正确的是( )

A.用二分法可以求所有函数零点的近似值

B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字 C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行 D.二分法只用于求方程的近似解

2函数f(x)= f(x)????? C. ?1?22,3? D. ?1?2,3?

????10、方程a?x?2(a?0且a?1)的实数解个数为（ A. 0

二、填空题

1.函数y?x?5x?4的零点是 2x2 ）

x3?x?x?1在[0,2]上( )

2 B. 1 C. 2 D.4

A.有3个零点 B.有2个零点 C.有1个零点 D.没有个零点 3函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a的取值范围是( )

A.a?111 B.a??1 C. ?1?a? D. .a? 或a??1 5554方程

x3?2x?3x?6?0在区间[-2,4]上的根必定属于区间( )

22.函数y??x?2x?3的自变量分别在什么范围内取值时，

（1）函数值大于0？ （2）小于0？ （3）等于0？ 3.二次函数y?ax?bx?c(a?0)，其中a?c?0，则函数的零点有 个？ 4.已知函数y?ax?x?b的两个零点分别为?2

2225775A.[-2,1] B [,4] C.[1, ] D.[ ,]

2442?x2+2x-3,x?02、函数（的零点个数为 ( ) fx)=??-2+lnx,x>01,1。则函数g(x)?bx2?ax?1的零点分别是 2

若方程2ax-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 . 解析：令f(x)=2ax-x-1,由题意知f(0)·f(1)<0,所以（-1）·（2a-2)<0,所以a>1. 答案：(1,+∞)

9.函数f(x)?lnx?x2?2x?5的零点个数为 . 解析：令lnx?x2?2x?5?0得lnx?x2?2x?5,

画图可得函数y=ln x与函数y=x2?2x?5的图象有2个交点， 即函数f(x)的零点个数为2. 答案：2

10. (2011届·浙江温州质检)对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)?x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点.若二次函数f(x)?x?2ax?a没有不动点，则实数a的取值范围是 .

22解析：函数f(x)?x2?2ax?a2无不动点，所以方程x?2ax?a?x无实数根，即方程

2

11、方程lg(4x?2)?lg2x?lg3的解集是 ．

12、已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a，如果函数y?f(x)在区间[?1,1]上有零点，则a取值范围为 ．

13、若关于x的方程3tx2?(3?7t)x?4?0两个实数根?,?满足

0???1???2，则t取值范围为 ．

2

14、如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，

y）的轨迹方程是y?f(x)，则y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。

15、直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 . 16、方程x?(k?2)x?1?3k?0有两个不等实根x1,x2,且0?x1?1?x2?2,则实数k的取

2222值范围为_______.

17、定义域和值域均为[?a,a]（常数a>0）的函数y=f (x)和y=g(x)的图像如图所示，则在给出的四个命题：

（1）方程f[g(x)]?0有且仅有3个解； （2）方程g[f(x)]?0有且仅有3个解；

（3）方程f[f(x)]?0有且仅有9个解；（4）方程g[g(x)]?0有且仅有3个解．其中正确的命题是 ．

三、解答题

★7.求实数m的取值或范围，使关于x的函数y?mx?4x?3（1）有一个零点？（2）有两个不同的零点？（3）有两个异号零点？

11.(14分)已知函数f(x)=2x-x+ax+1-a在(-∞,+∞)上是增函数.若函数的零点属于区间(0,1)，求实数a的取值范围．

3

3

2

2

1x2?(2a?1)x?a2?0无实数根，所以Δ=(2a?1)2?4a2<0.解得a>.

41答案：(,??)

4*7、若函数f(x)?x?ax?b的两个零点是2和?4，则实数a、b的值为_________。 8、若方程ax2－x－1＝0在（0，1）内有解，则实数a的取值范围是_____。 **9、若函数?（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是______。

3

5．用二分法研究函数f(x)＝x＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )

A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)

6．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．

7．用二分法求方程x－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01. 8．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn] (n∈N)上，当|an－bn|

2

y a -a x1 O x2 -a y=f(x) x3 a x -a y a O x4 -a a x y=g(x) 22解：由于f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，故f(x)只有一个零点， 依题意有f (0)f(1)<0，

即(1-a)(2-1+a+1-a)<0，解得1

即a的取值范围是(1,2).

12.(16分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3). (1)若g(x)=f(x)+6a有两个相同的零点，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

例3、已知函数f(x)?x?2x?5x?6的一个零点为1 （1）求函数的其他零点；

（2）求函数值大于0时自变量x的取值范围。

232解：（1）由题意，设f(x)?(x?1)(x?mx?n)?x?(m?1)x?(n?m)x?n，

322

2

?10??3,?故实数m的取值范围是?3?

*10、已知二次函数?（x）＝x2－（m－1）x＋2m在区间[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。

32f(x)?x?x?3x?3的零点。 11、求函数

x2?2x?ax**12、已知函数f（x）＝,x∈［1,＋∞)

1（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值。

（2）若对任意x∈［1,＋∞),f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围。

219、集合A={（x,y）x?mx?y?2?0},集合B={（x,y）x?y?1?0,且0?x?2}，又

?m?1??2??n?m??5??n?6∴?

?m??1?解得?n??6

2f(x)?0(x?1)(x?x?6)?0，解得x?1，－2，3 令，即

A?B??，求实数m的取值范围．

20、方程x?(x?3x?2)?3(x?3x?2)?2

【课堂小结】 1．知识方面

2．数学思想方法

222∴函数的其他零点是－2，3

（2）函数的三个零点将x轴分成4个区间： (??,?2]，(?2,1]，(1,3]，(3,??]

作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x的取值范围是：(?2,1)?(3,??)

2y??x?mx?1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交例4. 若二次函数

点，求实数m的取值范围。

解：线段AB的方程是x?y?3(0?x?3)

?x?y?3?2y??x?mx?1在0?x?3上有两组实数解 ?由题意，得方程组

2解得：x?(m?1)x?4?0在0?x?3上有两个实根

2f(x)?x?(m?1)x?4，则二次函数f(x)在0?x?3上有两个零点。 令

∴

???(m?1)2?16?0?m?1??3?0??2?f(0)?4?0???f(3)?9?3(m?1)?4?0解得

3?m?103

4