第6章 总体率的区间估计和假设检验试题 知识点

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第6章 总体率的区间估计和假设检验 掌握率的抽样误差的概念和意义

掌握总体率区间估计的概念意义和计算方法 掌握率的U检验的概念和条件，计算方法

第一节 率的抽样误差与总体率的区间估计

一、率的抽样误差：在同一总体中按一定的样本含量n抽样,样本率和总体率或样本率之间也存在着差异，这种差异称为率的抽样误差。 率的抽样误差的大小是用率的标准误来表示的。

?(1??)p(1?p)?p?Sp?nn

例6.1 检查居民800人粪便中蛔虫阳性200人，阳性率为25%，试求阳性率的标准误。 本例：n=800，p=0.25，1-p=0.75，

Sp?0.25?0.75?0.0153?1.53%

800二、总体率的区间估计 ㈠正态分布法

样本含量n足够大，np与n(1-p)均≥5时 ,

p?u?Sp

例6.2 求例6.1当地居民粪便蛔虫阳性率的95%可信区间和99%的可信区间。 95%的可信区间为：25%±1.96×1.53% 即（22.00%，28.00%） 99%的可信区间为：25%±2.58×1.53% 即（21.05%，28.95%）

㈡ 查表法

当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的可信区间可据二项分布的理论求得。 第二节 率的u检验

应用条件：样本含量n足够大， np与n(1－p)均≥5 。

此时，样本率p也是以总体率为中心呈正态分布或近似正态分布的 。

一、样本率与总体率比较的u检验 |p??0|? u值的计算公式为 ： u?? ?p

|p??0|?0(1??0)n例6.5 根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20%(总体率)发生胃出血症状。现某医生观察65岁以上胃溃疡病人152例，其中48例发生胃出血，占31.6%（样本率）。问老年胃

溃疡病患者是否较一般胃溃疡病患者易发生胃出血。 计算结果及判断u?|0.316?0.20|?3.58

0.20(1?0.20)152判断：u=3.58 > u0.05=1. 64（单侧）, P<0.05。

在α=0.05水准上，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。

二、两样本率比较的u检验

适用条件为两样本的np和n(1-p)均大于5。 计算公式为 p1?p2p1?p2u?? Sp1?p2pc(1?pc)(1n1?1n2)pc?x1?x2n1?n2

例6.6 某中药研究所试用某种草药预防流感，观察用药组和对照组（未用药组）的流感发病率，其结果见表6-1。问两组流感发病率有无差别？

表6-1 用药组和对照组流感发病率比较 组 别 用药组 对照组 合 计

第七章 二项分布与Poisson分布

第一节 二项分布及其应用

一、二项分布的概念及应用条件

二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。

二项分布 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。

如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为（1-π），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二项分布。 贝努里模型应具备下列三个基本条件

试验结果只出现对立事件A或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。 试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。 每次试验中，出现事件A的概率为π ，而出现对立事件的概率为１- π 。则有总概率 π +（1- π ）=1。

二、 二项分布的概率函数

根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n 次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。

观察人数 100 120 220 发病人数 14 30 44 发病率（%） 14 25 20 XX则X的概率函数为： n ( X ) C n ? ( 1 ? ? ) n ? X X=0,1,2,3…..,n P?X式中：0<π<1， Cn 为组合数，上述公式称随机变量X服从参数为n，π的二项分布，

则记为X～B(n,π)。 三、 二项分布的性质

1. 二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率等于1

0011[??(1??)]??CnX?X(1??)n?X?Cn?(1??)n?Cn?(1??)n?1??nX?0nn?1n?1?Cn?(1??)1?Cnn?n(1??)0?1

二项展开式有以下特点： （1）展开式的项数为n+1。

（2）展开式每项π和（1- π ）指数之和为n。 （3）展开式每项π的指数从0到n；（1- π ）的指数从n到0。

2. 二项分布的累积概率 设m1≤X≤m2 （m1＜m2）, 则X在m1至m2区间的累积概率有： Pn(m1?X?m2)?X?m1?Cm2Xn?X(1??)n?X

至多有x例阳性的概率为： Pn(X?x)??P(X) X=0,1,2，…，x (7.4)

X?0nx至少有x例阳性的概率为： Pn(X?x)?X?x?P(X) X=x，x+1，…，n

分别为下侧累计概率，和上侧累计概率。 3.二项分布的概率分布图形

以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形, 由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。

二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。

一般地，如果nπ之积大于5时，分布接近正态分布；当nπ<5时，图形呈偏态分布。当π =0.5时，图形分布对称，近似正态。如果π≠0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。 4.二项分布的数字特征

(这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数）

（1）随机变量X的数学期望E（X）＝μ，即指总体均数： μ ＝nπ （2）随机变量X的方差D（X）＝σ 2 为：??n?(1??) （3）随机变量X的标准差为:??n?(1??)

2

四、二项分布展开式各项的系数

二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为：

CnX?n!

X!(n?X)!该系数也可用杨辉三角来表示，国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。 当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。 杨辉三角的意义：

①杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项。当试验次数为n 时，有n+1项。 ②杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。

③杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字１，以后每下一行的首项及末项均为１，中间各项为上一行相邻两项数字之和。 五、二项分布的应用

二项分布在医学领域中，主要应用在下列几个方面：

①总体率的可信区间估计， ②率的u检验，

③样本率与总体率比较的直接计算概率法。 （一）应用二项分布计算概率

例 如出生男孩的概率π=0.5，出生女孩的概率为（1-π）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其中男孩为X=0,1,2,3的概率按公式计算的结果列于表7-1的