2015年湖南长沙长郡中学初一数学竞赛试题

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2015年5月24日

考试时量：60分钟 满分：100分

一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题5分，共30分） １、若不等式组??x?8?4x?1的解集是x>3，则m的取值范围是 ( )

x?m?2xm?1x?1，产生增根，则m的值为（ ） ?2?x?1x?xx11A. m>3 B．m≥3 C．m≤3 D．m<3 2、用去分母方法解分式方程

A.–1或–2 B. 1或–2 C.1或2 D. –1或2

3?54?3、 已知a?()3，b?()2，c?()2，则a,b,c三个数的大小关系是

533A．c?b?a B. c?a?b C. a?b?c D. b?a?c 4、点P是直线x?y?4?0上一动点，O为原点，则|OP|的最小值为( ) A. 2 B. 2 C. 22 D. 4

5、已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，△AOD的面积为4，△BOC的面积为9，

则梯形ABCD的面积为（ ）

（A）25 （B）24 （C）22 （D）26

6、矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（ ）．

（A）

1738(B)758(C)7316(D)75 16

二.填空题：(每题6分，共36分) 7、已知x?11?4,则x??_________ xx43x?的解为 xx8、方程x?9、在△ABC中，AB＝10，AC＝26，BC＝10，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．

则R的最小值是 ．

10、若?、?是方程x?3x?5?0的两个实数根，则??2??3?的值=

（x2?3x?3)(x2?3x?4)?8= 11、分解因式：

222

3x2?6x?512、已知x为实数，则分式的最小值为

12x?x?12三、解答题（本大题共3题，13题10分，14,15每题12分，共34分）

13、如图：已知△ABC，E为AB的中点，D为AE的中点,且AE=AC, 求证：BC=2CD

A

D

E

B

14、“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如表中所示： ⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；

⑵求y与x之间的函数关系式；

型 号 进价(元／套) 售价(元／套) A 40 50 B 55 80 B 50 65 C

⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。 ①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套。

15、如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A出发，沿线段AC以每秒1个单位长度的速度

移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax?bx?c的对称轴为x??

2b） 2a第19题图

参考答案及评分标准： 一．选择题：（每题5分，共32分）

1-6：CBB，CAD

二．填空题：（每题4分，共32分）

7. ±23 8. x=4（多一个答案-1的算错） 9. 13 10. 24 11. (x?1)(x?4)(x?3x?5) 12. 4

三、解答题：（每题12分，共36分）

13、证明：设BC的中点为F,连接EF,易知：AC=2EF=AE=2DE

则EF=DE,又EF∥AC,则∠FEC=∠ACE=∠AEC,又EC=EC

则△EDC≌△EFC(SAS),则FC=DC=

D E

C

F A

2B 1BC,即BC=2CD 2 14、（1）购进C种玩具套数为：50－x－y （2分）

（2）由题意得40x?55y?50(50?x?y)?2350 整理得y?2x?30……（5分） （3）

①p?(50?40)x?(80?55)y?(65?50)(50?x?y)?200 整理得：p?15x?250 ……7分

② 购进C种电动玩具的套数为：50?x?y?50?x?(2x?30)?80?3x

?x?1070? 据题意列不等式组?2x?30?10，解得20?x? ……9分

3?80?3x?10? ∴x的范围为20?x?70，且x为整数 x的最大值是10 3∵在p?15x?250中，k?15＞0 ∴P随x的增大而增大 ∴当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元．……11分

此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．……（12分）

15、（1）设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4), 因为B（0，4）在抛物线上，

所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= ?1 3121x?x?4 3分 33所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)??13（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?AO2?BO2?32?42?5 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD垂直平分PQ，则PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

DQCDDQ210 即??,DQ?

ABCA57710252525所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t? ?1?777725所以t的值是

7b1（3）因为抛物线的对称轴为x???

2a21所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?对称

2第19题图

BOABAO10QEDE 即 ?7?45386620208所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）

777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)

8?8k??20???k?m?41则?7 7 由此得 ?24?m????3k?m?0??411?x??824?2x? 联立?所以直线AQ的解析式为y?

8244141?y?x???41411?x??128?2) 由此得? 所以M(,241?y?8x?24??4141128)，使MQ+MC的值最小。 则：在对称轴上存在点M(,241

1连接AQ交直线 x ? 于点 M，则MQ+MC的值最小

2

过点Q作QE⊥x轴于E，所以∠QED=∠BOA=90° QEDQDE?? DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 则：