(完整版)人教版八年级数学分式知识点和典型例题

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】

【思想方法】 1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则

bcb?c【主要公式】1.同分母加减法则:???a?0?

aaabdbcdabc?da2.异分母加减法则:?????a?0,c?0?;

acacacacbdbdbcbdbd3.分式的乘法与除法:??,????

acacadacac4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a

m

●

an =am+n; am÷ an =am－n

m

n

m

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)= a b, (a)

m

n

= a

mn

7.负指数幂: a

-p

=

1ap a=1

0

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8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

1x1a?bx2?y2x?y【例1】下列代数式中：,x?y,，是分式的有： ,,?2a?bx?yx?y .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x有何值时，下列分式有意义

（1）

x?413x26?x （2）2 （3）2 （4） （5）

1x?4|x|?3x?2x?1x?x题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.

x?1（1）

x?3（2）

|x|?2x?42 （3）

x2?2x?3x2?5x?6

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x为何值时，分式

（2）当x为何值时，分式（3）当x为何值时，分式

4为正； 8?x5?x3?(x?1)2为负；

x?2为非负数. x?3练习：

1．当x取何值时，下列分式有意义：

（1）

1

6|x|?3 （2）

3?x(x?1)2?1 （3）

111?x

2．当x为何值时，下列分式的值为零：

5?|x?1|（1）

x?4 （2）

25?x2x2?6x?5x?5x2?2x?3

3．解下列不等式 （1）

|x|?2?0 x?1（2）?0

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：

AA?MA?M?? BB?MB?M 2 / 8

2．分式的变号法则：

?a?aaa????? ?b?b?bb题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

12x?y3 （1）211x?y340.2a?0.03b

0.04a?b （2）

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

?a?a?x?y（1） （2）? （3）?

a?b?b?x?y题型三：化简求值题

112x?3xy?2y【例3】已知：??5，求的值.

xyx?2xy?y提示：整体代入，①x?y?3xy，②转化出【例4】已知：x?11

?. xy

11?2，求x2?的值. xx21【例5】若|x?y?1|?(2x?3)2?0，求的值.

4x?2y练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

0.03x?0.2y

0.08x?0.5y30.4a?b5 （2）11a?b410（1）

2．已知：x?3．已知：

1x2?3，求4的值. xx?x2?1112a?3ab?2b??3，求的值. abb?ab?a2a?b的值.

3a?5b4．若a2?2a?b2?6b?10?0，求5．如果1?x?2，试化简

|x?2|x?1|x|. ??2?x|x?1|x

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ①最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

①取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

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题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）（3）

abcba,； （2）； ,2,a?b2b?2a?2ab3ac?5b2c1x2?x1?2x?x2x2?x?2,x,2； （4）a?2,1 2?a题型二：约分

【例2】约分： （1）

?16x2y20xy3n2?m2x2?x?2；（3）；（3）2.

m?nx?x?6题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

a2b3c22bc4（1）()?()?()；

?c?abam?2nn2m??（3）； n?mm?nn?m

3a33y?x2)?(x2?y2)?()； （2）(x?yy?x

a2（4）?a?1；

a?1112x4x38x7； ????1?x1?x1?x21?x41?x8111??（6）；

(x?1)(x?1)(x?1)(x?3)(x?3)(x?5)（5）

1x2?2x（7）(2?)?()

x?1x?4x?4x?2x2?4题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

x2?411（1）已知：x??1，求分子1?2[(?1)?(?)]的值；

4x2xx?4xyzxy?2yz?3xz（2）已知：??，求2的值；

234x?y2?z28（3）已知：a2?3a?1?0，试求(a2?题型五：求待定字母的值

【例5】若练习：

1．计算

1?3xx2?1?1)(a?)的值.

aa21MN，试求M,N的值. ?x?1x?1 4 / 8