江苏省泰州中学2016届高三上学期期中数学试卷Word版含解析

=

==

．

当且仅当故答案为：

．

，即时，上式等号成立．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．

14． 当x≥0时，f=已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．（x），

若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 （﹣，﹣）∪（﹣，﹣1） ．

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合题意，讨论求解．

【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，

当x=±2时，函数取得极大值；

当x=0时，取得极小值0．

要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根， 设t=f（x），

则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，

则有两种情况符合题意： （1）t1=，且t2∈（1，）， 此时﹣a=t1+t2， 则a∈（﹣，﹣）；

（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，）， 此时同理可得a∈（﹣，﹣1），

综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）． 故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．

【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．

二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．如图已知四边形AOCB中，||=5， =（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．

（1）若cos∠AOB=，求A点坐标； （2）记向量

与

的夹角为θ，求cos2θ的值．

【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义． 【专题】平面向量及应用．

【分析】（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．可得：xA=yA=（2）B

．

，

，计算.，．可得cosθ=．

【解答】解：（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=． xA=yA=

==5

==

． ．

∴A（2）B==∴

==5，∴cosθ=

﹣ =5． =， ．

．

．

=

．

．

∴cos2θ=2cos2θ﹣1=

．

【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足

．求数列{bn}的前n项和

．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式； （2）化简bn=2n﹣1+（﹣

），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．

【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，

a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2， 即为1+q2﹣1=2q，解得q=2， 即有an=a1qn﹣1=2n﹣1； （2）=2n﹣1+（﹣

=an+

），

=（1+2+22+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣

）

数列{bn}的前n项和=

+1﹣

=2n﹣

．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．

17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定

F分别在线段AB，AD上）从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，，

且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S． （1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式； ②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；

（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．

【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】应用题；函数的性质及应用． 【分析】（1）①设AF=y，由勾股定理可得y=得到S的解析式； ②AF=xtanθ，EF=（2）由①得S=

，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；

（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，可得S=

=（3﹣2t﹣）

运用基本不等式，可得最大值及x的值． 【解答】解：（1）①设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2， 解得y=可得S=xy=②AF=xtanθ，EF=由x+xtanθ+

（由y＞0可得0＜x＜），

（0＜x＜）； ，

，

（由y＞0可得0＜x＜），即可

=1，可得x=

即有S=xy=（0＜θ＜）；

（2）由①得S=（0＜x＜），