(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法5第5讲数列的综合应用教学案

第5讲 数列的综合应用

等差数列与等比数列的综合问题

(2018·高考浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是

a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.

(1)求q的值；

(2)求数列{bn}的通项公式．

【解】 (1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.

?1?由a3＋a5＝20得8?q＋?＝20，

?

q?

1

解得q＝2或q＝，

2因为q>1，所以q＝2.

(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.

??S1，n＝1，由cn＝?解得cn＝4n－1.

?Sn－Sn－1，n≥2，?

由(1)可知an＝2

n－1

，

?1?所以bn＋1－bn＝(4n－1)·???2??1?故bn－bn－1＝(4n－5)·???2?

n－1

，

n－2

，n≥2，

?1?bn－b1＝(bn－bn－1)·(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·???2??1?9)·???2?

n－3

1

＋…＋7·＋3.

2

n－2

＋(4n－

1?21?n－21??设Tn＝3＋7·＋11·??＋…＋(4n－5)·??，n≥2，

2?2??2?1?21?n－21?n－111???Tn＝3·＋7·??＋…＋(4n－9)·??＋(4n－5)·??，

22?2??2??2?1?21?n－21?n－111???所以Tn＝3＋4·＋4·??＋…＋4·??－(4n－5)·??，

22?2??2??2?

?1?因此Tn＝14－(4n＋3)·???2?

n－2

，n≥2，

?1?又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·???2?

n－2

.

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.

(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；

bn1*(2)令cn＝n＋1＋，其中n∈N，若数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.

2n（n＋1）

解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1， 由an＝－3Sn＋4， 知an＋1＝－3Sn＋1＋4， 1

两式相减并化简得an＋1＝an，

4

?1?所以an＝???4?

n－1

.

?1?bn＝－log2an＋1＝－log2??＝2n. ?4?

n1

(2)由题意知，cn＝n＋.

2n（n＋1）

123n令Hn＝＋2＋3＋…＋n，①

2222112n－1n则Hn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，② 22222

11111nn＋2①－②得，Hn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1＝1－n＋1.

2222222所以Hn＝2－

nn＋2

2

n.

111111n又Mn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，

223nn＋1n＋1n＋1所以Tn＝Hn＋Mn＝2－

n＋2

2

n＋

nn＋1

.

数列与函数的综合问题

?1? (2020·杭州学军中学高三模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－???2?

2(n∈N)，数列{bn}满足bn＝2an.

(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝log2，数列?

*

n－1

＋

nnan2?25

?的前n项和为Tn，求满足Tn<(n∈N*)的n的最大值．

21?cncn＋2?

?

?1?【解】 (1)在Sn＝－an－??

?2?

n－1

＋2中，令n＝1，

1

可得a1＝S1＝－a1－1＋2，a1＝.

2

?1?当n≥2时，Sn－1＝－an－1－???2?

n－2

＋2，

?1?所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋???2??1?即2an＝an－1＋???2?

nn－1

.

n－1

，2an＝2

nn－1

an－1＋1.

而bn＝2an，所以bn＝bn－1＋1.

即当n≥2时，bn－bn－1＝1.又b1＝2a1＝1， 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列． 于是bn＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n.

2(2)因为cn＝log2＝log22＝n， 所以

2＝

211

＝－.

n（n＋2）nn＋2

nnanncncn＋2

Tn＝?1－?＋?－?＋?－?＋…＋(－)＋?－?＝1＋2－n＋1－n＋2，

n－1n＋1?nn＋2??3??24??35?

2511125

由Tn<，得1＋－－<，

212n＋1n＋221即

1113＋>. n＋1n＋242

111113＋单调递减，f(4)＝，f(5)＝， n＋1n＋23042

?

1??11??11?

11

?11?

111

又f(n)＝

所以n的最大值为4.

(1)已知函数条件，解决数列问题．此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．

(2)已知数列条件，解决函数问题．解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．

(2020·杭州五校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知函数f(x)

2－12 015π2 017π＝x，且f(a2－2)＝sin ，f(a2 016－2)＝cos ，求S2 017. 2＋136

2－12－11－2解：因为f(x)＝x，f(－x)＝－x＝x，

2＋12＋12＋1所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)． 2－12

而f(x)＝x＝1－x，

2＋12＋1所以f(x)是R上的增函数． 又f(a2－2)＝sin

2π?2 015π2π3?＝sin?671π＋?＝－sin ＝－，f(a2 016－2)＝cos

3?332?

xx－xxxπ?2 017ππ3?＝cos?336π＋?＝cos ＝，

6?662?

所以f(a2－2)＝－f(a2 016－2)＝f(2－a2 016)， 所以a2－2＝2－a2 016，所以a2＋a2 016＝4.

2 017（a1＋a2 017）2 017（a2＋a2 016）2 017×4

所以S2 017＝＝＝＝4 034.

222

数列不等式的证明(高频考点)

证明数列不等式是浙江高考的热点，一般难度较大．主要命题角度有： (1)用构造数列法和数列的单调性证明数列不等式； (2)用比较法证明数列不等式； (3)证明与数列前n项和有关的不等式； (4)用数学归纳法证明数列不等式．

角度一 用构造数列法和数列的单调性证明数列不等式

1?1? (1)对任意自然数n，求证(1＋1)?1＋?…(1＋)＞2n＋1.

2n－1?3?1111*

(2)若n≥2，n∈N，证明不等式1＋2＋2＋…＋2＜2－.

23nn11?1?【证明】 (1)构造数列an＝(1＋1)?1＋?…(1＋)，

2n－12n＋1?3?则

an＋12n＋22n＋22n＋2

＝＝＞＝1. 2an（2n＋1）（2n＋3）（2n＋2）－12n＋2