2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案理

用，利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．

【变式探究】已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)，→→

过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE·PF的最小值是( )

A．5 C．10 答案 B

解析 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，

圆M(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1，圆心M(2＋5cosθ，5sinθ)，半径为1，∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离．

如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，

→→→→

则PE·PF最小值是HE·HF，HC＝CM－1＝5－1＝4，HE＝HC2－CE2＝16－4＝23， CE1

sin∠CHE＝CH＝2，

1

∴cos∠EHF＝cos2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝2，

1→→→→

HE·HF＝|HE|·|HF|cos∠EHF＝23×23×2＝6，故选B.

B．6 D．12

高频考点六 向量的综合应用

y≥x，??→→→→

例6、(1)已知x，y满足?x＋y≤2，若OA＝(x,1)，OB＝(2，y)，且OA·OB的最大值是最

??x≥a，小值的8倍，则实数a的值是( )

A．1 1

C.4

1B.3 1D.8

(2)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O→→

为坐标原点，且OM·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．

答案 (1)D (2)3

1→→?1??1? (2)由图象可知，M2，1，N(xN，－1)，所以OM·ON＝2，1·(xN，－1)＝2xN－1＝0，

????

?1?解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×2－2＝3.

??

【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．

→→→→

【变式探究】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB→→→

＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是( )

A．22 C．42 答案 D

→→→→

解析 由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2， π→→

知〈OA，OB〉＝3. 当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，

→→

在△OAB中，取OC＝λOA，过点C作CD∥OB交AB于点D，作DE∥OA交OB于点E，显CDACCD2－2λ→→→→→

然OD＝λOA＋CD.由于OB＝AO，OB＝2，∴CD＝(1－λ)OB，

B．23 D．43

→→→→→→∴OD＝λOA＋(1－λ)OB＝λOA＋μOB＝OP， ∴λ＋μ＝1时，点P在线段AB上，

∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．

考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，

π1

其面积为S＝4S△OAB＝4×2×2×2sin3＝43.

1.【2016高考江苏卷】如图，在?ABC中，D是BC的中点，E,F是A,D上的两个三等分点，BC?CA?4，BF?CF??1 ，则BE?CE 的值是 ▲ .

【答案】

7 8

【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD的边长为a ，?ABC?60 ,则BD?CD?（ ）

（A）?（D）

3323a （B）?a2 （C） a2错误！未找到引用源。

42432a错误！未找到引用源。 2【答案】D

【解析】因为

BD?CD?BD?BA?BA?BC?BABA?BC?BA?a2?a2cos60?故选D.

????232a 2【2015高考陕西，理7】对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A．|a?b|?|a||b| B．|a?b|?||a|?|b||

22C．(a?b)?|a?b| D．(a?b)(a?b)?a?b

22【答案】B

【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，AB?6，AD?4.若点M，N满足BM?3MC，DN?2NC，则AM?NM?（ ）

（A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C 【解析】

AM?AB?311AD,NM?CM?CN??AD?AB，所以 443221111AMNM?(4AB?3AD)(4AB?3AD)?(16AB?9AD)?(16?36?9?16)?94124848，选C.

b满足???2a，【2015高考安徽，理8】已知向量a，???C是边长为2的等边三角形，

?C?2a?b，则下列结论正确的是（ ）

（A）b?1 （B）a?b （C）a?b?1 （D）4a?b??C 【答案】D 【解析】如图，

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