应用数值分析第四版课后习题答案第9章

第九章习题解答

?41??321??141???? 1.已知矩阵A1?230,A2?????141???103????14??试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。 解：(1)??3?3,

2.设x?(x1,x2,...,x3)T是矩阵A属于特征值?的特征向量，若x试证明特征值的估计式??aii??(2)??4?2,

?xi，

?aj?1j?inij.

解：Ax?由 x?x,Ax????x???xi?A?x?

?xi 得 ai1x1???aiixi???ainxn??xi

(??aii)xi??ai?1i?jnijxj

??aiixi??ai?1i?jnijxj??ai?1i?jnijxj

??aii??aiji?1i?jnxjxi??aij

i?1i?jn

?232???(0)T3.用幂法求矩阵 A?1034 的强特征值和特征向量，迭代初值取y?(1,1,1)。

????361??解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z;

[c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end

z=y/c

if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end

Tz(1)?(0.4118 1.0000 0.5882), c1 = 17(2)Tz?(0.5280 1.0000 0.8261), c2= 9.4706(3)z?( 0.4928 1.0000 0.7260 )T, c3= 11.5839Tz(4)?(0.5020 1.0000 0.7574), c4= 10.8316(5)Tz?(0.4995 1.0000 0.7478), c5= 11.04981(6)Tz?(0.5001 1.0000 0.7506), c6=10.9859 (7)Tz?(0.5000 1.0000 0.7498), c7= 11.0040(8)Tz?(0.5000 1.0000 0.7500), c8=10.9989(9)Tz?(0.5000 1.0000 0.7500), c9= 11.0003(10)Tz?(0.5000 1.0000 0.7500), c10= 10.9999Tz(11)?(0.5000 1.0000 0.7500), c11=11.0000T强特征值为11，特征向量为(0.5000。 1.0000 0.7500)

?621???4.用反幂法求矩阵A?231 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 ????111??y(0)?(1,1,1)T。

解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\\z;

[c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c;

if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c

z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)z(7)z(8)z(9)T?(1.0000 0.4000 0.1000), c1 = 1.1111T?(1.0000 0.5714 0.2857), c2 =0.7000?( 1.0000 0.5066 0.2303 )T, c3= 0.8042T?(1.0000 0.5286 0.2457), c4= 0.7675T?(1.0000 0.5210 0.2411), c5= 0.7794

T?(1.0000 0.5236 0.2425), c6=0.7754T?(1.0000 0.5227 0.2421), c7= 0.7767T?(1.0000 0.5230 0.2422), c8=0.7763T?(1.0000 0.5229 0.2422), c9= 0.7764T最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为(1.0000。 0.5229 0.2422)5.设A?Rn?n非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘A1=RQ，试证明

（1） 若A对称则A1也对称；

（2） 若A是上Hessenberg阵，则A1也是上Hessenberg阵。 证明：（1）A?QR,A1?RQ?Q?1AQ?QTAQ，

TA1?QTATQ?QTAQ?A1,?A1对称

（2）A是上Hessenberg阵，用Givens变换对A作正交分解，即

R(n?1,n)?R(2,3)R(1,2)A?R,QT?R(n?1,n)?R(2,3)R(1,2)

A1?QTAQ?R(n?1,n)?R(2,3)R(1,2)ART(1,2)?RT(n?1,n)显然A1也是上Hessenberg阵。

6.设矩阵A???11?? 12??（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A的强特征值和特征向量；

（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；

（3）用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。 解：（1）

z(1)z(2)z(3)z(4)z(5)z(6)T?(0.6667 1.0000), c1 = 3T?(0.6250 1.0000), c2 =2.6667?( 0.6190 1.0000 )T, c3= 2.6250 T?(0.6182 1.0000), c4= 2.6190T?(0.6181 1.0000), c5=2.6182 T?(0.6180 1.0000), c6=2.6181A的强特征值为2.6181，特征向量为(0.6180 1.0000) （2）for i=1:10 [Q,R]=qr(A); A=R*Q end

T -0.5000 0.0769 -0.0112?,A??2.6154?,A??2.6180?A1??2.500023 0.5000? 0.3846 0.3820??????-0.5000??0.0769?? -0.0112? 0.0016 -0.0002 0.0000?,A??2.6180?,A??2.6180?A4??2.618056 0.3820 0.3820? 0.3820??????0.0016?? -0.0002??0.0000? A的特征值为2.6180，0.3820

1??（3）A-?I?11??2?3??1，特征值?1,2?1.5?0.55 2??特征向量(?0.5?0.55,1)T

1??20??7. 设矩阵A?02?1 ????1?11??（1）用Householder变换化A为对称三对角阵A1。 （2）用平面旋转阵对A1进行一步QR迭代计算出A2。

(1)?1,Hx?y?(1,0)T,u?x?y?(?1,1)T, 解：（1）x?100??2 1 0?uuT?0 1???H2?I?2T?,H??001?,HAH??1 1 -1?

1 0???uu???0 -1 2????010?? 0.4899 -0.0000?2.6000?(2) A2??0.4899 2.4000 -0.0000?,

??0 -0.0000 -0.0000? ?

8. 用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。

?421??,(2)A?(1)A??010????023??解：（1）for k=1:20 p=A(3,3);

AA=A-p*eye(3); [Q,R]=qr(AA); A=R*Q+p*eye(3) end

?310??121? ????011?? -0.7071 2.1213?4.0000?A1?? 0 1.0000 2.0000?,

??0 0 3.0000? ?