2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第7章 第5讲 直接证明与间接证明 含解析

第5讲 直接证明与间接证明

最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.

知 识 梳 理

1.直接证明 内容 综合法 利用已知条件和某些数学定义、定义 公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 实质 由因导果 P?Q1→Q1?Q2→?→框图表示 Qn?Q 因为??所以?? 或由??得?? 分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 执果索因 Q?P1→P1?P2→?→得到一个明显 成立的条件要证??只需证?? 即证?? 文字语言 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.

(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.

(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( )

解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)应假设“a≤b”. (3)反证法只否定结论.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A.2ab－1－a2b2≤0 a4＋b4

B.a＋b－1－2≤0

2

2

（a＋b）222C.－1－ab≤0

2D.(a2－1)(b2－1)≥0

解析 a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0. 答案 D

3.若a，b，c为实数，且a

B.a2>ab>b2 baD.a>b 解析 a2－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab.① 又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，② 由①②得a2>ab>b2. 答案 B

4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根