高考数学复习第五章数列课下层级训练30数列求和含解析文新人教A版

1

＝(2n＋3－2n＋1)， 2

1111

∴Tn＝(5－3)＋(7－5)＋…＋(2n＋1－2n－1)＋(2n＋3－2n＋1)

2222＝

2n＋3－3

. 2

?Sn?

13．已知数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，且数列??是公差为2的等差数列．

?n?

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

解 (1)由已知得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝2n－n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－n－[2(n－1)－(n－1)]＝4n－3. 而a1＝1满足上式，所以an＝4n－3，n∈N. (2)由(1)可得bn＝(－1)(4n－3)．

当n为偶数时，Tn＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n－7)＋(4n－3)]＝4×＝2n；

2当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1.

?2n，n为偶数，?

综上，Tn＝?

??－2n＋1，n为奇数.

n*

2

2

nSnn2

n

x*

14．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2的图象上(n∈N)． (1)证明：数列{bn}为等比数列；

1

(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数ln 2列{anbn}的前n项和Sn.

(1)证明 由已知，bn＝2an＞0. 当n≥1时，2

bn＋1d＝2an＋1－an＝2. bnd所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2的等比数列． (2)解 函数f(x)＝2在(a2，b2)处的切线方程为

xy－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，

它在x轴上的截距为a2－

1. ln 2

11

由题意，a2－＝2－，解得a2＝2.

ln 2ln 2所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2， 则anbn＝n·4.

5

2

nn于是Sn＝1×4＋2×4＋3×4＋…＋(n－1)×44Sn＝1×4＋2×4＋…＋(n－1)×4＋n×4因此，Sn－4Sn＝4＋4＋…＋4－n·4＝4

n＋1

2

2

3

23n－1

＋n×4，

nnn＋1

.

nn＋1

－4n＋1

－n·4＝3

－3n3＋4. n＋1

－4. 所以Sn＝

n－

9

n＋1

6