人教A版2019年高中数学选修1-2习题：3.1 数系的扩充和复数的概念 第一课时1 - 含答案

第三章 3.1 3.1.1

A级 基础巩固

一、选择题

1．全集I＝{复数}，集合M＝{有理数}，N＝{虚数}，则(?IM)∩(?IN)＝导学号 18674308( D )

A．{复数} C．{有理数}

B．{实数} D．{无理数}

[解析] ?IM＝{无理数、虚数}，?IN＝{实数}，∴(?IM)∩(?IN)＝{无理数}． 2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为导学号 18674309( D )

A．－2 2C．－ 3

2B． 3D．2

[解析] 由题意得2＋(－b)＝0，∴b＝2.

3．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i的实部为虚部的新复数是导学号 18674310( A )

A．2－2i C．－5＋5i

B．2＋i D．5＋5i

2

2

[解析] 复数2i－5的虚部为2，复数5i＋2i＝－2＋5i，∴其实部为－2，故选A． 4．复数z＝(m＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为导学号 18674311( D )

A．0或－1 C．1

??m＋m＝0[解析] ∵z为纯虚数，∴?

?m≠0?

2

2

B．0 D．－1

，

∴m＝－1，故选D．

5．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为导学号 18674312( A ) A．x＝0且y＝3 C．x＝5且y＝3

B．x＝0且y＝－3 D．x＝3且y＝0

??x＝0

[解析] 依题意得?

?－3＝8x－y???x＝0

解得?

?y＝3?

，

2

，故选A．

2

6．复数z＝a＋b＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是导学号 18674313( D ) A．|a|＝|b| C．a>0且a≠b

B．a<0且a＝－b D．a≤0

[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0， 故a≤0. 二、填空题

7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝ __1__.导学号 18674314

[解析] 由复数相等可知

??x－1＝－3x???y＝1

1

，y＝4

1??x＝

，∴?4

??y＝1

2

.

8．给出下列复数：2＋3，0.618，i5i＋4，2i，其中为实数的是 2＋3，0.618，i .导学号 18674315

[解析] 2＋3，0.618，i为实数，5i＋4，2i为虚数． 三、解答题

2

2,

a2－7a＋62

9．已知复数z＝2＋(a－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别

a－1

为：导学号 18674316

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

[分析] 按复数a＋bi(a、b∈R)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z为实数时，则有a－5a－6＝0①

2

a2－7a＋6且有意义②

a2－1

解①得a＝－1且a＝6， 解②得a≠±1，

∴a＝6，即a＝6时，z为实数． (2)当z为虚数时，则有a－5a－6≠0③

2

且a2－7a＋6a2－1

有意义④

解③得a≠－1且a≠6， 解④得a≠±1， ∴a≠±1且a≠6，

∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．

?a2

－5a－6≠0(3)当z为纯虚数时，???a2

－7a＋6

?a2－1

＝0

，

此方程组无解，

∴不存在实数a使z为纯虚数．

B级 素养提升

一、选择题

1．(1＋3)i的实部与虚部分别是导学号 18674317( C ) A．1，3 B．1＋3，0 C．0,1＋3

D．0，(1＋3)i

[解析] (1＋3)i可看作0＋(1＋3)i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋3.

2．若(m2

－3m－4)＋(m2

－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为导学号 18674318( A．－1 B．4 C．－1或4

D．不存在

2

[解析] 由条件知，???m－3m－4＝0

??m2

－5m－6≠0

，

∴???

m＝－1或4

??

m≠－1或m≠6

，∴m＝4.

3．若a、b∈R, 且a>b，那么导学号 18674319( D ) A．ai>bi B．a＋i>b＋i C．ai2

>bi2

D．bi2

>ai2

[解析] ∵i2

＝－1，a>b，∴ai2

，故选D．

4．若4－3a－a2

i＝a2

＋4ai，则实数a的值为导学号 18674320( C ) A．1 B．1或－4 C．－4

D．0或－4

B ) ??4－3a＝a[解析] 由题意得?2

?－a＝4a?

2

，解得a＝－4.

二、填空题

5．若复数z＝(m＋1)＋(m－9)i<0，则实数m的值等于__－3__.导学号 18674321

??m－9＝0

[解析] ∵z<0，∴?

?m＋1<0?

22

2

，∴m＝－3.

6．已知复数z＝m＋(m－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝__－1__.导学号 18674322

??m－1＝0，

[解析] ∵z<0，∴?

?m<0，?

2

∴m＝－1.

三、解答题

7．若不等式m－(m－3m)i<(m－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.导学号 18674323

2

2

2

m－3m＝0??2

[解析] 由题意，得?m－4m＋3＝0

??m2<10

2

，

?m＝3或m＝1

∴?

?|m|<10

m＝0或m＝3

，

∴当m＝3时，原不等式成立．

C级 能力提高

1．(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为__2__.导学号 18674324

??1＋b＝a，

[解析] (1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以?

?1－b＝0.???b＝1，

解得?

?a＝2.?

ab

所以＝2.

ab1

2．设z＝log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).导学号 18674325

2(1)若z是虚数，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值．

[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解．

m－1>0??

(1)若z是虚数，则其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是?5－m>0

??5－m≠1

且m≠4.

，解得1

1

(2)若z是纯虚数，则其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，

2

m－1＝1??

m应满足的条件是?5－m>0

??5－m≠1

，解得m＝2.