函数项级数的一致收敛性

第三节 函数项级数的一致收敛性

本节将讨论函数项级数有关性质。

定义 1 设 u1(x)，u2(x)，……，un(x)，……，是集合E上的函数列，我们称形为

u1(x)+u2(x)+……+un(x)+……

为E上的函数项级数，简记为

?un?1?n(x) 。其中un(x)称为第n项.

?uk(x)+uk?1(x)+……+un(x)+……也记为?un(x). 记号中n可以用其它字母代之.

n?k 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设

?un?1?n(x)是集合E上的函数项级数，记

nSn(x)??ui(x)=u1(x)+u2(x)+……+un(x)，

i?1它称为级数

?un?1?n(x)的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. ?Sn(x)?称为

?un?1?n(x)的部分和函数列。

?如果?Sn(x)?在x0点收敛，我们也说

???un?1n (x)在x0点收敛或称x0为该级数的收敛点。

如果

?|un?1n(x)|在x0点收敛，我们称?un(x)在x0点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一

n?1定收敛。

?Sn(x)?的收敛域也称为该级数的收敛域。如果?Sn(x)?在x0点不收敛，我们说

?un?1?n(x)在x0点发散。

如果?Sn(x)?在D上点态收敛于S(x)，我们称

?un?1?n(x)在D上点态收敛于S(x). S(x)称为该级数的的和函数。Rn(x)?S(x)?Sn(x)称为该级数关于前n 项部分和的余项.

?Rn(x)?称为该级数的余项函数列.

如果?Sn(x)?在D上一致收敛于S(x)，我们称

??un?1?n(x)在D上一致收敛于S(x)，或

??un?1n(x)在D上一致收敛. 如果?Sn(x)?在D上内闭一致收敛于S(x)，我们称?un(x)在

n?1D上内闭一致收敛.

用??N的进行叙述将是： 设

?un?1?n(x)是D上函数项级数，S(x)是D上函数。 若对任意?>0，总存在一个正数

正数N（只能依赖于?，绝对不依赖于x），当n?N时，对一切的x?D，总有

|?ui(x)?S(x)|??，

i?1n则称该函数项级数在D上一致收敛于S(x). 同样一致收敛一定点态收敛.

例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数）

?xn?1?n?1?1?x?x2????xn???

1?xn的部分和函数是Sn(x)? .显然当|x|<1时

1?xlimSn(x)?n??1 . 1?x

|x|?1时，几何级数是发散的。其收敛域是（—1，1）. 显然几何级数在（—1，1）上不是

一致收敛的.

函数列的有关结论，都可以不加证明地推广到函数项级数. 定理11. 8 （函数项级数一致收敛Cauchy准则）函数项级数

?un?1?n(x)在集合D上一致收

敛的充分必要条件是： 对任意ε>0,总存在正数N，使得当正整数m，n，有 m>n>N时，对一切的x∈D,都有 | u n ? 1 ( ( x ) ? ? ? u m。 ? . x ) ?u n ?1( x ) |?

2

推论

?un?1?n(x)在D上一致收敛的必要条件是?un(x)?在D上一致收敛于0。 反之未必

（请读者举例）.

定理11. 9 敛于0.

定理11. 10 （Weierstrass判别法）设

?un?1?n(x)在D上一致收敛的充分必要条件是其余项函数列?Rn(x)?一致收

?an?1?n是收敛的正项级数，

?un?1?n(x)是D上的函数项

级数。如果|un(x)|?an,x?D,n?1,2,3,??，则

??un?1?n(x)在D上一致收敛。

证明 因正项级数

?an?1n收敛，所以，任意?>0，存在正数N, 当 m,n?N (m>n) 时,

|an?1?an?1????am|??.

那么对任意x?D, |un?1(x)?un?1(x)????um(x)|?an?1?an?1????am??， 由Cauchy准则，得证。

sinnx(2)例 ?2在（—∞，+∞）上一致收敛。

n?1n?1?定理11. 11 （Abel判别法）设函数项级数

?b(x)在D上一致收敛，函数列?ann?1?n(x)?在D

上一致有界，即存在常数M, 使得|an(x)|?M，x?D，n?1,2,3,??，如果?an(x)?关于n是单调的，那么

?an?1?n(x)bn(x)在D上一致收敛。

证明 因

?b(x)一致收敛，所以任意?>0，存在正数N, 当 m,n?N (m>n) 时,

nn?1?对所有x?D, |bn?1(x)?bn?1(x)????bm(x)|?又

?3M?1。

k?n?1?an(x)bn(x)?m?3M?1(|an?1(x)|?2|am(x)|)??.

由一致收敛Cauchy准则即证。

定理11. 12 （Dirichlet判别法）设D上函数项级数

?b(x)的部分和函数列在D上一致有

nn?1?

3

界，函数列?an(x)?在D上一致收敛于0，如果?an(x)?关于n是单调的，那么

?an?1?n(x)bn(x)在D上一致收敛。

证明 因

?b(x)的部分和函数列在

nn?1?D上一致有界, 所以存在M>0,使得

Sn(x)??bk(x)满足|Sn(x)|?M,(n?1,2,3,?;x?D), 所以|?bk(x)|?2M,

kn?1kn?nm所以任意?>0，存在正数N, 当 n?N (m?n,x?D). 又?an(x)?在D上一致收敛于0，时, 对所有x?D,|an(x)|?m?6M?1。当 m,n?N (m>n) 时, 对所有x?D,

k?n?1?ak(x)bk(x)?2M(|an?1(x)|?2|am(x)|)?2M??an?1?3???.

6M?1又由Cauchy一致收敛准则即证。

例 如果常数列?an?单调收敛于0，那么

nsin(nx)在（0，2π）上内闭一致收敛。

证明 数列?an?收敛于0意味着关于x一致收敛于0，对任意（0，2π）的子集[a, b], 当记 M=min{sinab,sin }>0, 则任意[a, b]中的x，有 221|sinx|2?1. M1x|cos(n?)x?cos|n122所以 |?sin(kx)|?. ?xMk?12|sin|2由Dirichlet判别法知道，原级数在（0，2π）上内闭一致收敛. 下面将给出与函数列相应的一些性质，不于证明： 定理11. 13 （连续性）若函数函数项级数

?un?1?n(x)的每一项在区域D上都连续。如果

?un?1x?x0?n(x)在D上一致收敛于S(x)，则其和函数S(x)在D上也连续。即

?lim?un(x)??limun(x).

n?1n?1x?x0? 4