2019年高考数学一轮复习： 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 文 北师大版

∴圆M的方程为x＋y－4y＝0，即x＋(y－2)＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2. 又圆N：(x－1)＋(y－1)＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1， ∴|MN|＝

－

2

2

2

2222

＋－

2

＝2.

∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交． 法二：∵x＋y－2ay＝0(a>0)?x＋(y－a)＝a(a>0)， ∴M(0，a)，r1＝A．

∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为22，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝a－2，解得a＝2. 以下同法一．

(2)方程x＋y＋2ay－6＝0与x＋y＝4. 1

两式相减得：2ay＝2，则y＝.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a2

a 由已知条件2－

2

3

2

1

＝，即a＝1.]

a [规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x，y项得到． 3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．

[变式训练2] (1)圆x＋y－6x＋16y－48＝0与圆x＋y＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．1 C．3

2

2

2

2

2

2

2

2

B．2 D．4

2

2

(2)(2017·山西太原模拟)若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 C．9

2

2

B．19 D．－11

2

2

(1)B (2)C [(1)将两圆x＋y－6x＋16y－48＝0与x＋y＋4x－8y－44＝0化为标准形式分别为(x－3)＋(y＋8)＝11，(x＋2)＋(y－4)＝8.因此两圆的圆心和半径分别为O1(3，－8)，r1＝11；Q2(－2,4)，r2＝8.故圆心距|O1O2|＝＋

2

2

2

2

2

2

2

＋－8－

2

＝

13.又|r1＋r2|＞|O1O2|＞|r1－r2|，因此两圆相交，公切线只有2条．

(2)圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)＋(y－4)＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝3＋4＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C．]

2

2

2

2

直线与圆的综合问题 (2016·江苏高考改编)如图8-4-1，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆

M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

【导学号：00090

图8-4-1

[解] 圆M的标准方程为(x－6)＋(y－7)＝25， 所以圆心M(6,7)，半径为5.

2

2

1分

(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)． 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，

所以0

2

2

4分 5分

(2)因为直线l∥OA， 4－0

所以直线l的斜率为＝2.

2－0 设直线l的方程为y＝2x＋m， 即2x－y＋m＝0， 则圆心M到直线l的距离

d＝

|2×6－7＋m||m＋5|

＝. 55

2

2

8分

因为BC＝OA＝2＋4＝25， 而MC＝d＋??， ?2? 所以25＝

2

2

?BC?2

m＋

5

2

＋5，

解得m＝5或m＝－15.

故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.

12分

[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公

式及勾股定理求解．

2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．

[变式训练3] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－3y＝4相切． (1)求圆O的方程；

(2)若圆O上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN的方程． [解] (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离， 则r＝41＋3

＝2.

所以圆O的方程为x2

＋y2

＝4. (2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0. 则圆心O到直线MN的距离d＝|m|5.

由垂径分弦定理，得m2

＋(3)22

5＝2，

即m＝±5.

所以直线MN的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0.

5分

7分

10分 12分