2019年高考数学一轮复习： 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系学案 文 北师大版

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

(对应学生用书第116页)

[基础知识填充]

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d

d>r?相离．

(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b－4ac，Δ>0?相交，Δ＝0?相切，Δ<0?相离． 2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)＋(y－b1)＝r1(r1>0)， 圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0)．

方法 几何法：圆心距d与位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 [知识拓展] 1．圆的切线

(1)过圆x＋y＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是xx0＋yy0＝r；

(2)过圆(x－a)＋(y－b)＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是(x－a)(x0－a)＋(y－

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代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r2－r1|

(3)过圆x＋y＝r外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r.

2．直线被圆截得的弦长

1?1?222

弦心距d、弦长a的一半a及圆的半径r构成一直角三角形，且有r＝d＋?a?.

2?2?3．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④

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外切：3条；⑤相离：4条．

(2)当两圆相交时，两圆方程(x，y项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x＋y＝1相交”的必要不充分条件．( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )

(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )

[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．(教材改编)圆(x＋2)＋y＝4与圆(x－2)＋(y－1)＝9的位置关系为( ) A．内切 C．外切

B．相交 D．相离

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B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝4＋1＝17.∵3－2

3．(2017·合肥调研)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是

( )

A．－2或12 C．－2或－12

B．2或－12 D．2或12

2

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|3×1＋4×1－b|22

D [由圆x＋y－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以＝1，22

3＋4解得b＝2或12.]

4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)＋(y＋1)＝4截得的弦长为__________．

255

[圆心为(2，－1)，半径r＝2. 5

－1＋42－?

2

2

2

|2＋

圆心到直线的距离d＝

－3|35

＝，

5

所以弦长为2r－d＝222

?35?2255

?＝5.] ?5?

2

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5．(2018·张家口模拟)已知直线12x－5y＝3与圆x＋y－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________. 【导学号：00090279】

42 [把圆的方程化成标准方程为(x－3)＋(y－4)＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径

2

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r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝

＝42.]

|12×3－5×4－3|22

＝1，则|AB|＝2r－d2212＋－

(对应学生用书第117页)

是( ) A．相交 C．相离

直线与圆的位置关系 22

(1)(2018·开封模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x＋(y－1)＝5的位置关系

B．相切 D．不确定

(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________． (3)(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x＋y－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．

(1)A (2)x＋2y－5＝0 (3)4π [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<5.故直线l与圆相交．

法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x＋(y－1)＝5的内部，∴直线l与圆C相交．

(2)∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)， ∴圆的方程为x＋y＝5. 1 ∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－. 2

1

由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.

2

(3)圆C：x＋y－2ay－2＝0化为标准方程是C：x＋(y－a)＝a＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a＋2.|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|?23?2?|0－a＋2a|?222

，由勾股定理得??＋??＝a＋2，解得a＝2，所以r＝2，所

2?2???2以圆C的面积为π×2＝4π.]

[规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断；

(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．

2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．

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|m|

m2＋1

[变式训练1] (1)(2018·兰州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0

B．2x＋y－7＝0 D．x－2y－7＝0

2

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222

(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，

B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.

【导学号：00090280】

(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x－1)＋y＝r上，且为切点．∵圆心(1,0)1

与切点(3,1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x2－3)，即2x＋y－7＝0.

(2)由圆x＋y＝12知圆心O(0,0)，半径r＝23.∴圆心(0,0)到直线x－3y＋6＝0的 距离d＝

61＋3

＝3，|AB|＝212－3＝23.过C作CE⊥BD于E.

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如图所示，则|CE|＝|AB|＝23.

∵直线l的方程为x－3y＋6＝0， ∴kAB＝

3

，则∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°. 3

|CE||AB|23

∴|CD|＝＝＝＝4.]

sin 60°sin 60°3

2

22圆与圆的位置关系 (1)(2016·山东高考)已知圆M：x＋y－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是( ) A．内切 C．外切

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B．相交 D．相离

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(2)(2018·汉中模拟)若圆x＋y＝4与圆x＋y＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝________.

?x＋y－2ay＝0，?

(1)B (2)1 [(1)法一：由?

??x＋y＝0

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得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为22，∴a＋－a2

＝22.又a>0，∴a＝2.