2013年暨南大学数学分析考研真题

2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）

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学科、专业名称：数学学科各专业 研究方向：各方向

考试科目名称：数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 计算题 (每小题8分, 共80分). (1) lim(sinx)?x?021?lnx13?23???n3. . (2) lim4n??n(3) x????lim?0x0xedttedtt22t2y3sin. (4) (x,y)?(0,0)lim11sinxy. 22x?y (5) ?ln(1?x2)dx. (6) x2u?v?ln20ex?1dx.ex (7) 设函数z?z(x,y)是由方程组x?e,y?eu?v,z?u2?v2所定义, 求dz及 zx. (8) 设球体x?y?z?2z上各点的密度与到坐标原点的距离成反比, 求这球体的质量. (9) 求幂级数(10) 求222?n?1nx的收敛范围及和函数. n?1n!???(2z?3y)dx?(x?2z)dy?(x?y)dz, 其中L为x?y?z?2与三个L坐标面的交线, 取逆时针方向为正向. 2. 讨论题 (共16分). (1) 讨论级数?n?1?(?1)nxn(x?0)的敛散性. (7分) n(2) 设 x?22, x?y?0?(x2?y2)pf(x,y)?? ?0, x2?y2?0,? 其中p?0. 讨论f在点(0,0)处的连续性. (9分) 3. 证明题 (每小题9分, 共54分). (1) 证明无穷积分???eln(lnx)cosxdx条件收敛. lnx??0(2) 证明含参量积分?x2e?xydy在(??,??)内不一致收敛. 2(3) 设函数f在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且 f(a)?f(b)?0. 证明存在??(a,b)使得f(?)?f?(?). (4) 设函数f在光滑曲线L:x??(t),y??(t),t?[?,?]上连续, 证明存在点(x0,y0)?L使得?f(x,y)?f(x0,y0)s, 其中s为L的弧长. L(5) 证明??(esiny?2y)dx?(ecosy?2x)dy有原函数, 并求它的一个原函数. (6) 设f(x)?xx?nn?2?12nln(1?nx)(x?[0,1]). 证明f在[0,1]上连续, 且有连续的导函数.

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