全国版2019版高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案

第3讲 平面向量的数量积及应用

板块一 知识梳理2自主学习

[必备知识]

考点1 数量积的有关概念

→

角；范围是0°≤θ≤180°.

2．a与b的夹角为90度时，叫a⊥b.

3．若a与b的夹角为θ，则a2b＝|a||b|cosθ. 4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a2b＝x1x2＋y1y2. 5．a在b的方向上的投影为|a|cosθ.

6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝x1＋y1，cosθ＝2

2

→

1．两个非零向量a与b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ，叫做向量a与b的夹

x1x2＋y1y2

. 222

x＋y12x2＋y2

21

a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. a∥b?x1y2－x2y1＝0.

考点2 数量积满足的运算律

已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： 1．a2b＝b2a.

2．(λa)2b＝λ(a2b)＝a2(λb)． 3．(a＋b)2c＝a2c＋b2c.

[必会结论]

1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e2a＝a2e＝|a|cosθ；

2．当a与b同向时，a2b＝|a||b|；当a与b反向时，a2b＝－|a||b|，特别地，a2a＝a或|a|＝a；

3．a2b≤|a||b|.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“3”) (1)两个向量的数量积是一个向量．( )

(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．( )

(3)若a2b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a2b＜0，则a和b的夹角为钝角．( ) (4)若a2b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (5)(a2b)2c＝a2(b2c)．( )

2

2

(6)若a2b＝a2c(a≠0)，则b＝c.( )

答案 (1)3 (2)3 (3)3 (4)3 (5)3 (6)3

2．[20182重庆模拟]已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )

915A．－ B．0 C．3 D. 22答案 C

解析 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)2c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.

3．[20172全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a＋2b|＝________.

答案 23

解析 解法一：|a＋2b|＝?a＋2b?

＝a＋4a2b＋4b

＝2＋432313cos60°＋431 ＝12＝23.

解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，

→

如图，则|a＋2b|＝|OC|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.

4．[20182济南模拟]已知向量|b|＝3，a2b＝－12, 则向量a在向量b方向上的投影是________．

答案 －4

解析 因为向量|b|＝3，a2b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是－4.

5．[20162北京高考]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．

答案

π 6

2

2

2

2

2

a2b－12

＝＝|b|3

解析 a2b＝23，∴cos〈a，b〉＝π

〈a，b〉＝. 6

a2b233

＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴|a||b|2322

→→

6．[课本改编]已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE2CB的值为

→→

________；DE2DC的最大值为________．

答案 1 1

解析 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，

→→

→→

＝a≤1.故DE2DC的最大值为1.

板块二 典例探究2考向突破 考向 平面向量数量积的运算

1

例 1 (1)[20162山东高考]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.

3若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )

99

A．4 B．－4 C. D．－

44答案 B

→→

C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE2CB＝(1，a)2(1,0)＝1，DE2DC＝(1，a)2(0,1)

n2

解析 因为n⊥(tm＋n)，所以tm2n＋n＝0，所以m2n＝－，又4|m|＝3|n|，所以

t2

m2n4m2n41

cos〈m，n〉＝＝＝，所以t＝－4.故选B. 2＝－|m|2|n|3|n|3t3

(2)[20172北京高考]已知点P在圆x＋y＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，→→

则AO2AP的最大值为________．

答案 6

解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)． 由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)． →→→

→→→

2

2

2

2

AO2AP＝|AO||AP|cosθ，

|AO|＝2，|AP|＝?x＋2?＋y， cosθ＝＝→

→

2

2

AQAPx＋2

?x＋2?＋y2

2

，

所以AO2AP＝2(x＋2)＝2x＋4.

点P在圆x＋y＝1上，所以x∈[－1,1]．

→

→

2

2

所以AO2AP的最大值为2＋4＝6.

解法二：如图所示，因为点P在圆x＋y＝1上， 所以可设P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，

→

→

所以AO＝(2,0)，AP＝(cosα＋2，sinα)，