常微分方程的初等解法与求解技巧

则有

???x?2y?1， （4-7） ?x?? （4-8）??x?1，

?y由（4-7）式两边积分得：

???x?1y??(x)，

为了确定?(x)，在???x?1y??(x)的两边对x求偏导，得：

??d?(x)?x?2y?， ?xdx与（4-8）比较可得：

d?(x)??1， dx两边积分可得： ?(y)??x, 故原方程的解为：

x?1?x?c，c为任意常数.

5.一阶隐式微分方程与参数表示

5.1一阶隐式微分方程的主要类型 在这一章中，主要介绍以下四种类型： （1）y?f(x,y')；（2）x?f(y,y')； （3）F(x,y')?0；（4）F(y,y')?0. 5.1.1一阶隐式微分方程的参数表示 类型一：y?f(x,y').

dydy)方程的解法，其中f(x,)具有连续的偏导数 dxdxdydy?p，代入y?f(x,)中可得： 为了讨论的简单引入参数dxdx首先讨论形如y?f(x,y?f(x,p)，

对y?f(x,p)进行对x求导数的运算，其中p仅与x有关，并将

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dy?p代入，因此得： dx

p??f?fdp， ??x?pdx可以求得该方程的解.

（1） 若解出的p值：p??(x,c)，则可以得到：

y?f(x,?(x,c))，

因此原方程的通解为：

y?f(x,?(x,c))，这里c为任意常数.

（2）若解出x的值：x??(p,c)，于是原方程的通解为：

?x??(p,c), 其中p为参数，c为任意常数. ??y?f(?(p,c),p),（3）若解出的表达式满足：?(x,p,c)?0,因此得到原方程的通解为：

??(x,p,c)?0, 其中p为参数，c为任意常数. ??y?f(x,p),dy2dyx2举例：求方程y?()?x?的解.

dxdx2解：由题可知这个方程为y?f(x,y')的类型，故引入参数，令

x2原式中，并解出y，即 y?p?xp?，

22dy?p，代入 dx在这个式子两边对x求导数，得到:

p?2pdpdp?x?p?x， dxdx化解得： (则有：

(dp?1)(2p?x)?0， dxdp?1)?0或(2p?x)?0. dxx2dp2当(?1)?0时，解得：p?x?c，将之代入y?p?xp?中化简得：

dx2x2y??cx?c2，c为任意常数．

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x2x2当(2p?x)?0时，解得p?，将之代入y?p?xp?中又得到方程一个解为：

22x2y?，

4故方程的解为：

x2x22y??cx?c，（c为任意常数）或y?.

24类型二：x?f(y,y')．

讨论x?f(y,y')的解法，假设函数f(y,同样为了讨论方便引入参数

dy)有连续的偏导数. dxdy?p，代入x?f(y,y')中得： dxx?f(y,p)，

两边对y求导数，其中将

dx1?代入得到： dyp1?f?fdp??， p?y?pdy这个方程为关于y，p的一阶微分方程，故可运用前面学过的知识点来求其通解，不妨 设求得通解为：

?(y,p,c)?0，

则得原方程的通解为：

?x?f(y,p), ??(y,p,c)?0,?dy?dy?举例：求解方程???2x?y?0.

dx?dx?解：该方程为第二种类型，可解出x,并引入参数

dy?p代入x的表达式中可得： dx3y?p3x?，p?0,

2p等式两边对y求导可得：

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1?p化简得：

p(1?3p2dpdp)?(y?p3)dydy，

2p2pdy?ydp?2p3dp?0，

c?p4从而可以解得该方程的解为： y?，

2py?p3将之代入x?中可得：

2pc?p4?p3c?3p42p， x??22p4p所以方程的通解为：

c32?x??p,2?44p?p?0，其中c为任意常数. ?3cp?y??,?2p2?显然y?0也是方程的解.

类型三：F(x,y')?0.

现在讨论形如F(x,y')?0的方程的解法，为了讨论的简便引入参数：

dy?y'?p， dx代入原方程F(x,y')?0中得；F(x,p)?0，从而可以选择恰当的参数形式：

?x??(t), t为参数. ??p??(t),且满足关系dy?pdx，因此可将x和p代入得到：

dy??(t)?'(t)dt，

等式两边积分可得： y???(t)?'(t)dt?c， 故原方程参数形式的通解为：

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