2019最新高中数学 第二章2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值学案 2-3

2.3.1 离散型随机变量的均值

学习目标：1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2.掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．离散型随机变量的均值

(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

2．两点分布和二项分布的均值 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 3．随机变量的均值与样本平均值的关系

随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．

[基础自测]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；

( )

(2)随机变量的均值反映样本的平均水平； ( ) (3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4； (4)随机变量X的均值E(X)＝

( ) ( )

x1＋x2＋…＋xn.

n[解析] (1)× 随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．

(2)× 随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平． (3)√ 由均值的性质可知．

(4)× 因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

1

2．若随机变量X的分布列为

X p 则E(X)＝( ) －1 1 20 1 61 1 3A．0 1C．－ 6

3

B．－1 1D．－

2

1111

C [E(X)＝?xipi＝(－1)×＋0×＋1×＝－.] 2636i＝13．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________. 35 [E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]

?1?4．若随机变量X服从二项分布B?4，?，则E(X)的值为________.

?3?

【导学号：95032178】

414 [E(X)＝np＝4×＝.] 333

[合 作 探 究·攻 重 难]

求离散型随机变量的均值 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．

[解] X的取值分别为1,2,3,4.

X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，

故P(X＝1)＝0.6.

X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝

0.28.

X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，

故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.

X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1

－0.8)＝0.024.

2

所以李明实际参加考试次数X的分布列为

X＝k P(X＝k) 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024 所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. [规律方法] 求离散型随机变量X的均值步骤 (1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值． (2)求出X取每个值的概率． (3)写出X的分布列(有时也可省略)． (4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值． 其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识． [跟踪训练] 1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．

[解] X可取的值为1,2,3，

3233则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，

55410

P(X＝3)＝××1＝.

抽取次数X的分布列为

2154110

X P 35

310

1 3 52 3 1013102

3 1 10E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 离散型随机变量的均值公式及性质 已知随机变量X的分布列如下： X P －2 1 4－1 1 30 1 51 2 1 20m (1)求m的值； (2)求E(X)；

(3)若Y＝2X－3，求E(Y).

【导学号：95032179】

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