数学建模课程设计论文

xt?500kg?30元?每公斤草鱼售价：C??25元 500kg?xt?1000kg

?20元1000kg?xt?1500kg?在该假设下，损失鱼的总量容易求出，为2625公斤。

设第t天捕捞草鱼xt公斤，其价为y元/公斤，则该天的实际捕捞量为(1?0.5%n)xt 该天的利润w1为：

w1?(1?0.5%t)xt(y?bt)?(1?0.5%t)xt(y?6?0.15t)?xn(?0.00075t?0.18t?0.005ty?y?6)2

若xt≤500kg，则y=30元，则w1?xt(?0.00075t2?0.03t?24)，对称轴为20。 若500≤xt≤1000kg，则y=25元，则w1?xt(?0.00075t2?0.055t?19)，对称轴大于20。

若1000≤xt≤1500kg，则y=20元，则w1?xt(?0.00075t2?0.08t?14)，对称轴大于20。

由此可知随着天数的增加，W1值递增。即当价格不变的情况下，第20天时，当天利润最大。

由上面的分析可知，在市场容量允许的范围内，草鱼捕捞时间越后，获利越大。但市场的容量是有限的，投放量不能超过1500公斤，且随着投放量的增加，价格随着下降。我们可以通过下表来反映出来。

价格/元 第1天的利润/元 第20天利润/元 捕捞量/kg W1’ 30 12015 12150 500 W2’ 25 19054 19800 1000 W3’ 20 21119 1500 在该模型下，我们可以采取以下的方案来捕捞鱼。由损失的鱼量（2625kg）,计算出水库能够售出的鱼的数量为22375kg。

方案一，每天捕捞500kg。显然，若维持每天的捕捞量不变，1000kg的利润明显比500kg的利润多。故不计算了。

方案二，每天捕捞1000kg的捕捞量，总利润为38940元。

方案三，价格为20元的情况下，最多维持14天，还剩下的鱼有1375公斤，则第15天，采用25元的售价，售出1000kg，第16天用20元的价格,售出375kg。则在这种情况下的总利润为305460+19656+8898.8=343414元。

方案四，第20天售出1375kg的情况，另外让售价为25元维持15天（前15天），售价为20元的维持4天（第16天至第19天），这样取得的最大部利润为290670+ 91016+ 22950=404636元。

在这样的假设前提下，我们可以选择方案4，使利润最大。但是实际情况常常与此不是很符合。所以我们又对问题进行了进一步的分析，建立了模型二和模型三。

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模型二：

虽然草鱼的损失与水位并无直接的联系，但是溶氧量，水温等因素可能也是由于水位的降低造成的。所以，在模型二的假设前提条件下，我们假设损失率与水位成一次线性关系，且不存在草鱼日供应量大于1500kg的情况，则有：

当时xi?500kg，yi?30 ；当500 0时 ，yi?25 ；当?xi?100100?0xi?：此时假设其货价与售量成一次线性关系过点（1000，20），（1500，150；

6）；yi??0280.48xi?第i天的售价为Yi?[30ai?25bi?(?0.028xi?48)ci]xi且

(ai?bi?ci?1；ai,bi,ci?0或 1)；

所以总售价Y??[30ai?25bi?(?0.028xi?48)ci]xi 且

i?120(ai?bi?ci?1；ai,bi,ci?0或 1)；

成本： 此时假设其货价与水位成一次线性关系，因捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。故此时成本与水位的关系为Z?0.3h?1.5（5?h?15）；因为水位与时间的关系h??0.5t?15；第i天的成本为Zi?[0.3(?0.5ti?15)?1.5]xi?[?0.15ti?6]xi； 所以总成本与时间的关系：

Z??[0.3(?0.5ti?15)?1.5??[?0.15ti?6]xi；

i?1i?12020存活量：此时假设其损失率与水位成一次线性关系由随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%，且在水位为15米时损失率为0。故第i天的损失率与时间的关系

Si??1%h?15%??0.01(?0.5ti?15)?0.15?0.005ti 且(1?ti?20)即第i天的存活率与时间的关系ni?1?Si?1?0.005ti；第一天早上的存活量w1?25000；第i天早上的存活量为第i-1天早上的存活量与第i天的存活率之积即 wi?wi?1ni?wi?1(1?0.005ti)；第一天晚上的存活量k1?(25000?x1)(1?0.005t1)；第 i天晚上的存活量为第i-1天晚上的存活量减去第i天的售量与第i天的存活率之积即ki?(ki?1?xi)(1?0.005ti)；第一天的死亡量m1?(25000?x1)0.005t1； 第 i天晚上死亡量为第i-1天晚上的存活量减去第i天的售量与第i天的死亡率之积即mi?(ki?1?xi)0.005ti；

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由上可知20天内实际售出鱼的总量为总草鱼量减去总死亡量即

P20??xi?25000??mi?m1

i?1i?22020该模型的纯收入(Y?Z)由LINGO编程求解得，最大利润为373260.0元,草鱼的死亡量为7113.960kg当且仅当水库放水售鱼的20天的具体情况如下表：

第1天 1000kg 第6天 1000kg 第11天 1000kg 第16天 1000kg 第2天 1000kg 第7天 1000kg 第12天 1000kg 第17天 500kg 第3天 1000kg 第8天 1000kg 第13天 1000kg 第18天 500kg 第4天 1000kg 第9天 1000kg 第14天 1000kg 第19天 886.04kg 第5天 1000kg 第10天 1000kg 第15天 500kg 第20天 500kg

模型三：

虽然草鱼的损失与水位并无直接的联系，但是溶氧量，水温等因素可能也是由于水位的降低造成的。所以，在模型二的假设前提条件下，我们假设损失率与水位成一次线性关系，则有：

当时xi?500kg，yi?30 ；当500 0时 ，yi?25 ；当?xi?100100?0xi?：此时假设其货价与售量成一次线性关系过点（1000，20），（1500，150；当 xi?1500时，yi?6；

6）；yi??0280.48xi?第i天的售价为Yi?[30ai?25bi?(?0.028xi?48)ci?6di]xi且

(ai?bi?ci?di?1；ai,bi,ci,di?0或 1)；

所以总售价Y??[30ai?25bi?(?0.028xi?48)ci?6di]xi 且

i?120(ai?bi?ci?di?1；ai,bi,ci,di?0或 1)；

成本： 此时假设其货价与水位成一次线性关系，因捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。故此时成本与水位的关系为Z?0.3h?1.5（5?h?15）；因为水位与时间的关系h??0.5t?15；第i天的成本为Zi?[0.3(?0.5ti?15)?1.5]xi?[?0.15ti?6]xi； 所以总成本与时间的关系：

Z??[0.3(?0.5ti?15)?1.5??[?0.15ti?6]xi；

i?1i?12020存活量：此时假设其损失率与水位成一次线性关系由随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%，且在水位为15米时

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损失率为0。故第i天的损失率与时间的关系

Si??1%h?15%??0.01(?0.5ti?15)?0.15?0.005ti 且(1?ti?20)即第i天的存活率与时间的关系ni?1?Si?1?0.005ti；第一天早上的存活量w1?25000；第i天早上的存活量为第i-1天早上的存活量与第i天的存活率之积即 wi?wi?1ni?wi?1(1?0.005ti)；第一天晚上的存活量k1?(25000?x1)(1?0.005t1)；第 i天晚上的存活量为第i-1天晚上的存活量减去第i天的售量与第i天的存活率之积即ki?(ki?1?xi)(1?0.005ti)；第一天的死亡量m1?(25000?x1)0.005t1； 第 i天晚上死亡量为第i-1天晚上的存活量减去第i天的售量与第i天的死亡率之积即mi?(ki?1?xi)0.005ti； 由上可知20天内草鱼量总死亡量为

M??mi?m1

i?220由此，我们建立多目标的规划模型，令M达到最小 和 总利润最大。 我们采用线性加权法，令总利润的权值为0.9，而S20的权值为0.1，通过LINGO编程求解得：最大利润为332875元，草鱼的总死亡量为8828.493kg。当且仅当水

库放水售鱼的20天的具体情况为： 第1天 500kg 第6天 500kg 第11天 1000kg 第16天 1000kg 第2天 1000kg 第7天 500kg 第12天 1000kg 第17天 500kg 第3天 1000kg 第8天 500kg 第13天 1000kg 第18天 500kg 第4天 1000kg 第9天 500kg 第14天 1000kg 第19天 500kg 第5天 1000kg 第10天 500kg 第15天 1000kg 第20天 500kg

六、模型的应用与推广

在模型二、三中，我们建立规划模型。该模型不仅仅适用于最佳捕鱼方案类问题，同时对于其他的规划模型也起到指导作用。 本文模型的建立是为了解决最佳效益问题。通过使受益最大化作为杠杆平衡它们之间的分配关系。决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。

本题的求解是一个典型的规划问题，我们模型的使用范围非常广泛，涉及到投资时，有限的资金如何分配到各种投资方式上；工厂选址时，要兼顾距离原料区和服务区的路程……这一类问题均能得到较好的解决。规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域有着广泛的应用。

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