新北师大版八年级数学下册--全册教案

北师大版 八年级数学下册教案

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。 3．情感态度与价值观

体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。 【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。 【教学难点】

应用定理解决与直角三角形有关的问题。 【教学方法】

讲授法 【课时安排】

2课时

第一课时

【教学目标】

1．知识与技能

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。

2．过程与方法

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

3．情感态度与价值观

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。 【教学难点】

结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

【教学过程】 教学过程 第一环节：创设情境，引入新课 通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。 [问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢? 解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm， 11∴BC＝ AB＝ ×10＝5 cm． 22∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90° 又∵∠A+∠B＝90° ∴∠BCB1 ＝∠A＝30° BB1教学随笔 A115在Rt△ACB1中，BB1＝ BC＝ ×5＝ cm＝2．5 cm． 222∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5(cm)． ∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30° 第 13 页 共 268 页

C1C北师大版 八年级数学下册教案

11∴B1C1 ＝ AB1＝ × 7.5＝3.75(cm)． 22解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法． 第二环节：讲述新课 阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读． （1）．勾股定理及其逆定理的证明． 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2． 证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED． ∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，A对应边相等)． ∴四边形ACDE是直角梯形． 11∴S梯形ACDE＝ (a+b)(a+b) ＝ (a+b)2． 22∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°， AB＝BE． 1∴S△ABE＝ c2 2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED， 1111∴ (a+b) 2＝ c2 + ab + ab, 2222111即 a2 + ab + b2＝ c2 + ab, 222CBAEbCcaBD∴a2+b2＝c2 教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗? A师生共同来完成． 已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2 求证：△ABC是直角三角形． 分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是BC第 14 页 共 268 页

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不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证． 证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)， 则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)． A'222∵AB＋AC＝BC，A′B′＝AB，A′C′ ∴BC2＝B′C′2 ∴BC＝B′C′ B'C'∴△ABC≌△A′B′C′（SSS） ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC是直角三角形． 总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． （2）．互逆命题和互逆定理． 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 通过观察，学生会发现： 上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件． 这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。 第三环节：议一议 观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。 让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。 活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等． 如果两个角相等，那么它们是对顶角． 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧． 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎． 三角形中相等的边所对的角相等． 三角形中相等的角所对的边相等． 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流． 不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件． 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题． 再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第第 15 页 共 268 页

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一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢? 在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第三组中，原命题和逆命题都是真命题． 由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题． 第四环节：想一想 要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题． 请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？ 从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明。 如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理. 其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理． 能举例说出我们已学过的互逆定理? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等． 第五环节：随堂练习 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假; (1)四边形是多边形； (2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0 [分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题． 解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题． (2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正． (3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题． 第六环节：课时小结 这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力． 第七环节：课后作业 习题1．5第1、2、3、4题 【板书设计】 1.2 直角三角形（一） 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． 求证：a2+b2＝c2．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

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