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? 4. 配料问题
例:某人每天食用甲、乙两种食物(如猪肉、鸡蛋),其资料如下:问两种食物各食用多少,才能既满足需要、又使总费用最省?
? 解:设Xj 表示Bj 种食物用量
Chapter2 对偶理论
本章主要内容:
线性规划的对偶模型 对偶性质
对偶问题的经济解释-影子价格 对偶单纯形法 线性规划的对偶模型
1. 对偶问题的现实来源
? 设某工厂生产两种产品甲和乙,生产中需4种设备按A,B,C,D顺序加工,每件产品加工
所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表 :
问:充分利用设备机时,工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润?
? 解:设甲、乙型产品各生产x1及x2件,则数学模型为:
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反过来问:若厂长决定不生产甲和乙型产品,决定出租机器用于接受外加工,只收加工费,那么4种机器的机时如何定价才是最佳决策?
在市场竞争的时代,厂长的最佳决策显然应符合两条:
? (1)不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则,
便构成了新规划的不等式约束条件。 ? (2)竞争性原则。即在上述不吃亏原则下,尽量降低机时总收费,以便争取更多用户。
设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4,则新的线性规划数学模型为:
? 把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示,将会发现一个有趣的现象。
2. 原问题与对偶问题的对应关系
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? (1)对称形式
特点:目标函数求极大值时,所有约束条件为≤号,变量非负;目标函数求极小值时,所有约束条件为≥号,变量非负.
? 例2.1 写出线性规划问题的对偶问题
解:首先将原问题变形为对称形式
(2) 非对称型对偶问题
若给出的线性规划不是对称形式,可以先化成对称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2-2中的对应关系写出非对称形式的对偶问题。
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? 例2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题.
解: 原问题的对偶问题为
例2.3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
分别用单纯形法求解上述2个规划问题,得到最终单纯形表如下表:
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