2018年江西省南昌市中考数学三模试卷(word解析版)

∵点A的坐标为（﹣2，0），

∴当S△ACB＝3S△ADB时，点C 的坐标为（4，0）或（﹣8，0）；

（3） 存在．

理由：令x＝0，一次函数与y轴的交点为点B（0，﹣2）， ∴AB＝

＝2

，∠OAB＝∠OBA＝45°．

∵在△ABD 中，∠BAD、∠ADB 都不等于45°，∠ABD＝180°﹣45°＝135°， ∴点C 在点A 的左边．

①AC 与BD 是对应边时，∵△ADB∽△BCA， ∴

＝

＝1，

∴AC＝BD＝2，

∴OC＝OA+AC＝2+2＝4， ∴点C 的坐标为（﹣4，0）．

②当AC 与AB 是对应边时，∵△ADB∽△CBA ∴

＝

＝AB＝

， ×

＝4，

∴AC＝

∴OC＝OA+AC＝2+4＝6， ∴点C 的坐标为（﹣6，0）．

综上所述，在x 轴上有一点C（﹣4，0）或（﹣6，0），使得以点A、B、C 组成的三角形与△ADB 相似．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形对应边成比例的性质，难点在于（3）要分情况讨论． 六、解答题（本大题共12 分）

23．（12 分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为

：

1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形” ABCD 中，点P 为AB 边上的定点，且AP＝AD．

（1） 求证：PD＝AB．

（2） 如图（2），若在“完美矩形“ABCD的边BC上有一动点E，当

的值是多

少时，△PDE的周长最小？

（3） 如图（3），点Q是边AB上的定点，且BQ＝BC．已知AD＝1，在（2）的条件

下连接DE并延长交AB 的延长线于点F，连接CF，G为CF的中点，M、

N 分别为线段QF 和CD 上的动点，且始终保持QM＝CN，MN 与DF 相交于点H，请问GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．

【分析】（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD 与AB，根据AP＝AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；

（2） 如图，作点P关于BC 的对称点P′，连接DP′交BC 于点E，此时△PDE 的周长

最小，设AD＝PA＝BC＝a，表示出AB与CD，由AB﹣AP 表示出BP，由对称的性质得到BP＝BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；

（3） GH＝

，理由为：由（2）可知BF＝BP＝AB﹣AP，由等式的性质得到

MF＝DN，利用AAS 得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH＝DH，再由G 为CF 中点，得到HG 为中位线，利用中位线性质求出GH 的长即可．

（1） 证明：在图1中，设AD＝BC＝a，则有AB＝CD＝

a，

∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A＝90°， ∵PA＝AD＝BC＝a，

∴PD＝∵AB＝

a，

＝a，

∴PD＝AB；

（2） 解：如图，作点P关于BC的对称点P′，连接

DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，

设AD＝PA＝BC＝a，则有AB＝CD＝∵BP＝AB﹣PA， ∴BP′＝BP＝∵BP′∥CD， ∴

＝

＝

＝

；

a﹣a，

a，

（3） 解：GH＝

，理由为：

由（2）可知BF＝BP＝AB﹣AP， ∵AP＝AD， ∴BF＝AB﹣AD， ∵BQ＝BC，

∴AQ＝AB﹣BQ＝AB﹣BC， ∵BC＝AD， ∴AQ＝AB﹣AD， ∴BF＝AQ，

∴QF＝BQ+BF＝BQ+AQ＝AB， ∵AB＝CD， ∴QF＝CD， ∵QM＝CN，

∴QF﹣QM＝CD﹣CN，即MF＝DN， ∵MF∥DN， ∴∠NFH＝∠NDH，

在△MFH 和△NDH，

，

∴△MFH≌△NDH（AAS）， ∴FH＝DH， ∵G 为CF 的中点， ∴GH 是△CFD 的中位线， ∴GH＝CD＝

．

【点评】此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．