2019届江苏省镇江市高三考前模拟（三模）数学试题（解析版）

本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.

18．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x?4)2?y2?1，且圆C与x轴交于

M,N两点，设直线l的方程为y?kx(k?0).

（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

（2）已知直线l与圆C相交于A,B两点.（i）OA?2AB，求直线l的方程；（ii）直线直线AM，直线BN，直线OP的斜率分别为k1，k2，k3，AM与直线BN相交于点P，

是否存在常数a，使得k1?k2?ak3恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）l:y?1515（2）（i）直线l的方程为y?（ii）存在常数a?2，x；x；1525使得k1?k2?2k3恒成立.

【解析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k的方程，解方程求得结果；（2）（i）设A?x1,y1?，由OA?2AB可得B??33?x1,y1?，代入圆的方程可求解出A点坐22??标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii）将直线AM方程代入圆的方程可求得A点坐标；同理将直线BN方程代入圆的方程可求得B点坐标；利用kOA?kOB可求得k1,k2的关系，利用k1,k2表示出P点坐标，整理可得k3?1k1，进而可得到k1,k2,k3满足5k1?k2?2k3，得到常数a.

【详解】

（1）由题意，k?0 ?圆心C到直线l的距离d?4k1?k2 直线l与圆C相切 ?d??1，解得：k?15 1?k2154k?直线l方程为：y?15x

15（2）（i）设A?x1,y1?，由OA?2AB得：B??33?x1,y1? 22??第 13 页 共 23 页

25???x1?4?2?y12?1x?1??8?1522 由??3，解得：?k????3?25?y?15??x1?4???y1??11??2???2?8??直线l的方程为：y?15x

25（ii）由题意知：M?3,0?，N?5,0?

则lAM:y?k1?x?3?，与圆C:?x?4??y2?1联立得：

2221?kx?3k?5???x?3?????11???0

?3k12?52k1?3k12?5xM?3 ?xA?, ?A? 22?21?k1?1?k11?k1?2?5k2?3?2k2?, 同理可得：B?22?1?k1?k?22?kOA2k1?2k221?k121?k2?2?kOB ?2，整理可得：?1?k1k2??3k1?5k2??0

3k1?55k2?321?k121?k23k1k2??1 ?k2??k1

5设P?x0,y0? ???y0?k1????y0?k2?3k1?5k2?x??0k1?k2x0?3?? ?? x0?5??2kk12?y?0?k1?k2?3k1?3k?5k2?2k1k2??153k1?4?1k ?P?1,?k? ?，即P?,?31551?44??k1?k2k1?k2?42?k1?k2?k1?2k3

5?存在常数a?2，使得k1?k2?2k3恒成立

【点睛】

本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.

19．已知函数f?x???mx?n?e?x（m,n?R，e是自然对数的底数）.

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（1）若函数f?x?在点1,f?1?处的切线方程为x?ey?3?0，试确定函数f?x?的单调区间；

（2）①当n??1，m?R时，若对于任意x??,2?，都有f?x??x恒成立，求实

2数m的最小值；②当m?n?1时，设函数g?x??xf?x??tf??x??e?x???1????t?R?，是否

存在实数a,b,c??0,1?，使得g?a??g?b??g?c?？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由.

2【答案】（1）f?x?在?0,???上单调递减，在???,0?上单调递增；（2）①e?1；2②存在t????,3?2e?e??3?,???，使得命题成立 ?2??【解析】（1）利用切线方程可知f?1??21，f??1???，从而构造出方程组求得m,n，ee得到f?x?解析式，根据导函数的符号确定f?x?的单调区间；（2）①将问题转化为

m?ex?11?1?x对任意x??,2?恒成立；设??x??e?，利用导数求解??x?max，可xx?2?得m???x?max；②设存在a,b,c??0,1?，使得g?a??g?b??g?c?，将问题转化为

2?g?x??min??g?x??max，利用导数分别在t?1，t?0和0?t?1研究g?x?的最大值

和最小值，从而根据最值的关系可求得t的取值范围. 【详解】

（1）由题意f??x??mex??mx?n?ex?e?x2??mx??m?n?

exf?x?在点?1,f?1??处的切线方程为：x?ey?3?0

?m?n2???e21e 解得：m?1，n?1 ?f?1??，f??1???，即：??n1ee????e?e?f?x??x?1x? fx??，??xxee当x?0时，f??x??0，当x?0时，f??x??0

?f?x?在?0,???上单调递减，在???,0?上单调递增

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（2）①由n??1，m?R，

mx?11x ?xm?e?，即：

exx1?1?对任意x??,2?恒成立 x?2?x对任意x??,2?，都有f?x??x恒成立等价于m?e?2?1?x??记??x??e?x设h?x??e?11x，???x??e?2 xx12x? ?hx?e???x2x31?1?在?,2?单调递增 2x?2??1??0对x??,2?恒成立

?2??h?x??ex?1?1?2h而???e?4?0，h?2??e??0

4?2?????x??ex?1?1?在?,2?上有唯一零点x0 2x?2?当x???1?,x0?时，???x??0，当x??x0,2?时，???x??0 ?2??1????x?在?,x0?单调递减，在?x0,2?上单调递增

?2??1????x?的最大值是???和??2?中的较大的一个

?2???1??m?e?2m???1???2∴?? ?m?e?， ?2?，即?122?m???2??m?e?2???m的最小值为e2?1 2②假设存在a,b,c??0,1?，使得g?a??g?b??g?c?，则问题等价于

2?g?x??min??g?x??max

??x?t??x?1?x2??1?t?x?1 ??gx?g?x????xxee⑴当t?1时，g??x??0，则g?x?在?0,1?上单调递减

?2g?1??g?0?，即2?e3?te???1，得：t?3??1 ?t??3?,???

2e2??②当t?0时，g??x??0，则g?x?在?0,1?上单调递增

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