人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数教案

第一课时 任意角的三角函数的定义

知识与技能：

1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

过程与方法：

1理解并掌握任意角的三角函数的定义；

2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

情感态度与价值观：

1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函

数值）的一种联系方式

2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的

符号以及诱导公式一

教学难点：任意角三角函数的定义． 一．复习引入

思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

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结论：在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，

aba余弦，正切依次为：sinA?,cosA?,tanA?ccb

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数

思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角?的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在?的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r?a2?b2?0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.

则sin??MPb?; OPrYcos??OMa?; OPrOP(a,b)?MPb tan???.

OMa呢？为什么?

Mx思考2：对于确定的角?，这三个比值是否会随点P在?的终边上的位置的改变而改变根据相似三角形的知识，对于确定的角?，三个比值不以点P在?的位置的改变而改变大小.

我们可以将点P取在使线段OP的长r?1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

1?Y的终边上P(a,b)A(1,0)xMPOMMPbsin???b; cos???a; tan???.

OPOPOMa单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆圆.

OM称为单位上述P点就是?的终边与单位圆的交点, 锐角?的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.

二新课讲授

1.任意角的三角函数的定义

结合上述锐角?的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.

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如图,设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做?的正弦(sine),记做sin?, 即 sin??y；

（2）x叫做?的余弦(cossine),记做cos?,

即cos??x；

（3）

P(x,y)?OA(1,0)Yxy叫做?的正切(tangent),记做tan?, x即tan??y(x?0). x?k?(k?Z)时，?的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于

思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么? 说明:(1)当???2y0，所以tan??无意义,除此情况外，对于确定的值?，上述三各值都是唯一确定的实数.

x(2)当?是锐角时，此定义与初中定义相同；当?不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y)，从而就必然能够最终算出三

角函数值.

(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，

我们将这种函数统称为三角函数. 2.利用定义求角的三角函数值 例1.求

Y5?的正弦,余弦和正切值. 35?, 35?3OA(1,0)解：在直角坐标系中，作?AOB?x13?AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,?)，所22sin5?35?15???,cos?,tan??3 32323B以 5?7?变为呢？ 36例2．已知角?的终边过点P0(?3,?4)，求角?的正弦,余弦和正切值.

思考：如果将

思考：如何根据例题1解答

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思考：一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则

sina?yxy,cosa?,tana?，你能自己给出证明吗？ rrx思考 如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？ 3．三角函数的定义域和函数值符号 探究：

请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表

函 数 定 义 域 y?sin? y?cos? R R {?|??y?tan? ?2?k?,k?Z}

例3, 求证：当下列不等式组成立时，角a为第三象限角，反之也对 ??sina?0

?tana?0证明：如果sina?0成立，那么角a的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非负半轴重合;如果tana?0，所以角a的终边可能位于第一或第三象限 所以，角a的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明

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