2013级硕士研究生随机过程测试第5页

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2013级硕士研究生随机过程第三次测试

1、设{N(t),t?0}为泊松过程，参数为?。 （1）求E[N(t)N(s?t)] （2）求E[N(s?t)N(s)=m]

（3）证明对0?s?t有P{N(s)?N(t)}=1 解：（1）E[N(t)N(s?t)]=E[N(t)(N(s?t)?N(t)+N(t))]

=E[N(t)(N(s?t)?N(t))]+E[N2(t))] =E[N(t)(N(s)]+D[N(t))]+E2[N(t))]

=?2st+?t+?2t2 （2）E[N(s?t)N(s)=m]=E[N(s?t)?N(s)+N(s)N(s)=m]

=E[N(s?t)?N(s)N(s)=m]+E[N(s)N(s)=m]=?t+m

（3） 令t=s+?，??0，则

+?P{N(s)?N(t)}=P{N(s+?)?N(s)?0}=?(??)ke???=1 k=0k!

2、设某电话总机在t分钟内接到的电话呼叫数X(t)是具有速率为?的泊松过程，试求：

（1）3分钟内接到5次呼叫的概率

（2）已知3分钟内接到5次呼叫，且第五次呼叫在第3分钟到来的概率

解：（1）p(3?)5?3?81?5?31?P{X(3)?X(0)?5}?5!e?40e? （2）

p2?P{X(3)?X(0)?5,X(3)?X(2)?1} ?P{X(2)?X(0)?4,X(3)?X(2)?1}?P{X(2)?X(0)?3,X(3)?X(2)?2}? {PX(2)?X(0)?2,X(3)?X(2)?3}?P{X(2)?X(0)?1,X(3)?X(2)?4}? {PX(2)?X(0)?0,X(3)?X(2)?5} 4 ?e?3??(2?)4(2?)3?2(2?)2?3??5???4!???3!?2!?2!?3!?2??4!?5!?? ?211?5120e?3?

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3、设{Xn,n?1}是Markov链，状态空间为{0,1,2,3}，一步转移概率矩阵为

??102?330???13??P=?0?404? ?1??01?220???32??0505??（1）画出状态转移图，分析各个状态是常返性，并简述理由。 （2）讨论状态空间的分解，并求每个不可约闭集的平稳分布。 （3）求limPnn??

解：（1）状态图，0和2相通，都是正常返；1和3相通，都是正常返。 （2）状态空间可以分解为两个不可约常返闭集：I={0,2}?{1,3}

在C1={0,2}上，对应的转移概率矩阵为

?2?P??1?33??11? ???22??由此可以得到平稳分布满足?11210+?2?1,3?0+2?2??0,3?0+2?2??2

解得平稳分布为??3?7,0,47,0???；

在C2={1,3}对应的转移概率矩阵为

?3?P??1?44? ??32???55??由此可以得到平稳分布满足?13321+?3?1,4?1+5?3??1,4?1+5?3??3

解得平稳分布为???0,49,0,5?9??

?3?04?770??（3）?045??lim909???Pn?n=??3? ?040??77??045??909??

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4、设{Xn,n?1}为非周期不可约马尔科夫链，状态空间为I，若对一切(j?I)，其一步转移概率矩阵满足条件?pij?1。

i?I（1）证明对一切j，?p(n)ij?1;

i?I（2）若状态空间有限I?{1,2,...m}，计算各状态的平均返回时间。

解：（1）由K-F方程以及正项二重级数的收敛性质，得到

???????p?2?p????ij?ikpkj????pik?pkj??pkj?1 i?0i?0k?0k?0?i?0?k?0?设对某个正整数K，已证得?p?K?ij?1,那么就有：

i?0?????p?K?1?ij?p?K?ilp???K??lj??plji?0?i?0?l?0??l?0??pili?0??

??plj?1l?0?故对任意正整数n及一切j?I,有：?p?n?ij?1

(2) 由于?X?n?,n?1?i?0是有限马氏链，故必定存在平稳分布，所有状态全为正

常返的，且：??limn??p?n?jij?0 此时，??j,j?0,1,??是X的唯一平稳分布。

M?1该平稳分布就是极限分布，而且满足?1j???ipij，m?0j=ip=Mj

5、设j是常返态，K是非常返态集，H表示所有与j互通的状态集，试证明

（1）概率集?fij,i?K?满足fij??pikfkj??pik

k?Kk?H（2）若j是吸收态，则?fij,i?I?满足fij??pikfkj

k?I解：若k?H，则fkj?1；而当k?H且k?K时fkj?0，所以：

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