北京市东城区2020届高三数学4月综合练习（一模）试题 理

北京市东城区 2020 学年度第?学期高三综合练习（一）

数学 （理科）

本试卷共 5页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考?生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答?无效。考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共 40 分）

一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的?一项。 （1）已知集合，， 则

（A） （B） （C） （D）R

（2）在复平?面内，若复数对应的点在第?二象限，则可以为 （A） （B） （C） （D）

（3）在平面直角坐标系XOY 中，角以OX为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是

(A) (B)

(C) (D)

（4）正方体被一个平面截去?一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为

（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）平行四边形 （D）梯形 []

（5）若满足，则的最大值为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

（6）已知直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点 C.若点F是 的AC中点，则线段BC 的长为

(A) (B)3 (C) (D)6

（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平?面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“相等”是“总相等”的 (A) 充分?而不不必要条件 (B) 必要?而不不充分条件 (C) 充分必要条件

(D) 既不不充分也不不必要条件

（8）已知数列满足：，，则下列关于的判断正确的是 （A）使得 （B）使得 （C）总有 （D）总有

第二部分（非选择题 共 110 分）

二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

（ 9）在的展开式中， 的系数是 .（用数字作答） （ 10 ）在中，若，则 .

（ 11）若曲线（为参数）关于直线(为参数)对称，则 ； 此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 .

（ 12）已知向量a=，向量b为单位向量，且a·b=1，则2 b- a与2 b夹角为 . （13）已知函数，若都有

成立，则 满足条件的一个区间是 .

（14）设A,B是R 中两个子集，对于，定义： ①若.则对任意， ；[] ②若对任意，，则 A,B的关系为 .

三、解答题共 6 ?小题，共 80 分。解答应写出?文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题 13 分） 已知函数，且.

(Ⅰ ) 求的值及的最小正周期；

(Ⅱ ) 若在区间上单调递增，求的最大值. （16）（本小题 13 分）

改革开放 40 年年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国 2020 年至 2020 年体 育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．

（Ⅰ ）从 2020 年至 2020 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多 亿 元以上的概率；

（Ⅱ ）从 2020 年至 2020 年随机选择 3 年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过 20%的年数，求X的分布列列与数学期望；

（Ⅲ ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年 增加值方差最大？（结论不不要求证明）

（17）（本小题 14 分）

如图，在棱长均为2的三棱柱中，点C在平面内的射影O为与的 交点， E,F分别为的中点．

（Ⅰ ）求证：四边形为正方形；

（Ⅱ ）求直线EF与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ ）在线段上存在一点D，使得直线 EF与平面没有 公共点，求的值. （18）（本小题 13 分） 设函数的极小值点为.

（I）若，求 的值的单调区间；

（II）若，在曲线上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个 点P坐标，若不存在，说明理由.

（19）（本小题 13 分）

已知椭圆与x 轴交于两点，与y轴的一个交点为B， 的面积 为 2. （Ⅰ ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ ）在y轴右侧且平行于y轴的直线与椭圆 交于不同的两点，直线与直线交于点 P.以原点O为圆心，以为半径的圆与 x轴交于 两点M,N（点M在点N的左侧），求的值.

（20）（本小题 14 分）

已知，数列中的项均为不大于的正整数.表示中的个数. 定义变换，将数列变成数列其中. （Ⅰ）若，对数列，写出的值；

（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得.

求证：的充分必要条件为 （Ⅲ）若，对于数列，令，求证：

北京市东城区2020学年度第二学期高三综合练习（一）

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数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12）

（13） (答案不唯一) （14）

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）由已知，得，解得.

所

以

的

最

小

正

周

期

为. ............................7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

当时，

若在区间上单调递增， 则有，即. 所

（16）（共13分）

解:（Ⅰ）设表示事件“从2020年至2020年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增

以

的

最

大

值

为. ............................13分