概率论

11-12-2概率论与数理统计复习题

第一章 概率论的基本概念 第一节 随机试验；第二节 样本空间，随机事件

1、设A、B、C为样本空间中的三个随机事件，试用A、B、C的运算关系表示下列事件 （1）A、B、C都不发生； （2）A、B、C不多于两个发生； （3）A发生，且B与C至少有两个发生；（4）A、B、 C、中至少有一个发生； （5）A、B、C中至多有一个发生； （6）A、B、C中恰有两个发生。

第三节 频率与概率

11,P(B)?,则P(A?B)? （ ） 481131(A) (B) (C) (D)

424812、设A、B、C是样本空间中的三个事件，且P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?

41P(BC)?0,P(AC)?,则事件A、B、C至少有一个发生的概率为 （ ）

87531(A) (B) (C) (D)

88881、若事件A和B互不相容，且P(A)?3、设P(A)?a，P(B)?b，P(A?B)?c，则P(AB)= ，P(AB)= ， 4、设A、B是样本空间中的两个事件，若A?B，则P(B?A)? 。

5、已知P(A)?P(B)?P(C)?14，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?112，求A、B、C全不发生的概率. . 6、设A、B为两事件, 且P(A)?0.6，P(B)?0.7 (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

7、已知P(A)?x，P(B)?2x，P(C)?3x且P(AB)?P(BC)，试求x的最大值. 第四节 等可能概型（古典概型）

1、8件产品中有2件为次品，任取两件，恰有1件为次品的概率是 (A) 1/8 (B) 1/4 (C) 3/7 (D) 1/2

2、设有50份考卷,分别予以编号1,2,?50,任取其中2份进行考试，则事件“抽到的两份都是前10号考卷”的概率为

22C10C1021 (A) (B)2 (C) 2 (D)

C5025C505023、 设100件产品中有10件次品, 从中任取5件,，则在所取的5件产品中至多有1件次品的概率为 。 4、袋中有a个红球，b个白球，现从袋中每次任取一球取后不放回，则第k次取道红球的概率(1?k?a?b)为 。

5、（抽样模型）一批产品共有N件，其中有M件次品(N

1

7、（分房问题）设有n个人，每个人都以同样的概率?1N?被分配在N间房中的每一间房中，试求下列各事件的概率： (1) 指定的n间房中各有一人；(2) 恰有n间房中各有一人;(3) 指定的某房中恰有r个人 8、（分组问题）将12名工人随机地平均分配到三个班组中去，其中有3名熟练工，试问： （1）每一班组各分配到一名熟练工的概率是多少？ （2）3名熟练工分配在同一班组的概率是多少？ 9、（匹配问题）某人写了n封信给不同的n 个人，并在n各信封上写好了个人的地址，现将每个信封里随意的塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率

第五节 条件概率 1、已知P(B)?0,A1A2??，则下列结论不正确的是。

（A）P(A1?A2|B)?p(A1|B)?p(A2|B) (B) P(A1A2|B)?0 (C) P(A1?A2|B)?1 (D) P(A1A2|B)?1 2、已知P(A)?111，P(B|A)?，P(A|B)?，则P(A?B)? 432(A) 1/3 (B) 2/3 (C) 1/4 (D) 2/5

3、写出条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式

4、设工厂A与工厂B的产品次品率分别为1℅和2℅，现从由A和B的产品分别占60℅和

40℅的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A生产的概率是 。 （1996年数学一） 5、设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为

111（1）现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？（2）现从这批产品中任取一件，已知取得一件是,,，

101520第六节 独立性

次品，问该件次品是由那个厂生产的可能性最大。

1、设A，B相互独立，且P(A)?0,P(B)?0，则下列结论中一定正确的是

A.A和B互不相容 Ｂ.P(A?B)?P(A) Ｃ.A与B相容 Ｄ.P(A?B)?P(A)P(B)

2、一电路由元件A和两个并联的元件B与C串联而成（见下图）。假设三个元件的状态相互独立，元件A，B和C损坏的概率相应为p，q和q，则电路因元件损坏而不通的概率为

A. pq(2?q) B. pq(2?q) C. pq(2?p) D.pq(2?p)

3、设一射手每次命中目标的概率为。现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手射击了10次的概率为

A. C10p(1?p) B. C10p(1?p) C.C9p(1?p) D. C9p(1?p) 4、设A、B是样本空间中的两个事件，则满足等式 时，事件A 和B相互独立。 5、已知P(A)?a,P(B)?0.3,P(A?B)?0.7

（１）若事件A与B互不相容，则a＝ ，（２）若事件A与B相互独立，a＝ 。

2

5554454554456、设事件A1,A2,?,An相互独立，且P(Ai)?pi,i?1,2,?,n. 求：

(1) 所有事件全不发生的概率；(2) 这些事件中至少发生一个的概率。

7、甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，求每人射击一次后，目标被击中的概率。

第二章 随机变量及其分布

第一节 随机变量；第二节 离散型随机变量及其分布律

1、下列给出的是某个随机变量的分布律（ ）

35??1(A) ??0.50.30.2?? (B)

??23??1??0.70.10.1?? (C) ????10?11??231??0?1 (D)?1??4??21?1? ?3?2、设离散型随机变量X的分布律为P(X?k)?A(k?1,2,?)，试确定常数A=（ ）

k(k?1)（Ａ） 1 （Ｂ） 2 （C） 3 （D） 4 3、设随机变量X~B(4,0.6)，则 P(X?4)? 4、设随机变量?~P(2)，求方程x??x?1?0有实根的概率 5、设离散型随机变量X的分布律为P(X?k)?求 (1)P(X?1或X?2） (2)P(2k，(k?1,2,3,4,5)， 1515 (3P 2)(??1X?）?X?）22第三节 随机变量的分布函数

1、设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1,X2的分布函数.为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ) (A)a?32221313,b?? ; (B)a?,b? ; (C)a??,b?; (D)a?,??. 5533222212???2?102、设X的分布律为??0.1A0.10.30.2??，求A，X的分布函数F(x)，P(?1?X?2)

??第四节 连续型随机变量及其概率密度

1、设k在(0, 5)上服从均匀分布, 则4x?4kx?k?2?0有实根的概率为（ ）. （A） 0 （B） 1 （C）

213 （D） 252、设随机变量X的分布函数为F(X)?A?Barctanx(???x???),试求 (1)系数A,B. (2)X落在区间(?1,1)内的概率;

?c|x|?111?3、随机变量X的密度为f(x)??1?x2 , 求: （1） 常数c;（2）X落在(?,)内的概率.

22其它?0?4、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

3

?1?e?0.4x, F(x)???0,求下述概率：

x?0x?0

（1）P{至多3分钟}；（2）P{至少4分钟}；（3）P{ 3分钟至4分钟之间}； （4）P{ 至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}

5、对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 6、 设电子元件的寿命X具有密度为

?100100?x? ?(x)??x2

x?100?0?问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子

元件损坏的概率是多少?

?c|x|?111?27、随机变量X的密度为?(x)??1?x , 求: （1） 常数c;（2）X落在(?,)内的概率.

22其它?0?8、在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个点的坐标。设这个质点落在[0，a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，求X的分布函数。

9、假设一电路装有4个同类型的电子元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为5的指数分布,当4个元件都无故障时,电路正常工作,否则不能正常工作,求电路正常工作时间T的概率分布函数.

第五节 随机变量函数的分布函数 1、设X的密度函数为f(x), 而f(x)?1, 则Y = 2X的概率密度是 （ ） 2?(1?x)（A）

1211 （B） （ C ） （ D）arctany

?(1?y2)?(1?4y2)?(4?y2)?2、X服从N(0,1)，Y?aX?b服从 （ ）

（A）N(0,1) （B） N(a,1) （C）N(a,b) （D） N(b,a)。 3、X服从参数为?的指数分布，则aX服从参数为 的 分布。 4、Y?g(X)为单调函数，X随机变量，则P(Y?y)?P(X?5、设随机变量X 的分布律为 X P -2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 1/15 3 11/30 2)

试求Y = X 2 的分布律。

6、设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?13X的概率密度函数fY(y)。 ，求随机变量Y=1-2?(1?x)第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量

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