《2012年高考数学总复习系列》 - 高中数学必修五 - 图文

《2012年高考数学总复习系列》——高中数学必修五 第一章 解三角形 一、基础知识【理解去记】 p?在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。 a?b?c2abc??1．正弦定理：sinAsinBsinC=2R（R为△ABC外接圆半径）。

111absinC?bcsinA?casinB.22推论1：△ABC的面积为S△ABC=2

推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.

ab?推论3：在△ABC中，A+B=?，解a满足sinasin(??a)，则a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，

1absinCBC边上的高为bsinC，所以S△ABC=2；再证推论2，因为B+C=?-A，所以sin(B+C)=sinA，即ab?sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论4，由正弦定理sinAsinB，所

sinasin(??a)1??以sinAsin(??A)，即sinasin(?-A)=sin(?-a)sinA，等价于2[cos(?-A+a)-cos(?-A-a)]= ?12[cos(?-a+A)-cos(?-a-A)]，等价于cos(?-A+a)=cos(?-a+A)，因为0

?-A+a=?-a+A，所以a=A，得证。

b2?c2?a2?cosA?2bc2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

b2p?c2q?pq.p?q（1）斯特瓦特定理【了解】：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=

（1）

【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos?ADB， 所以c2=AD2+p2-2AD·pcos?ADB. ① 同理b2=AD2+q2-2AD·qcos?ADC， ②

因为?ADB+?ADC=?，

所以cos?ADB+cos?ADC=0， 所以q×①+p×②得

b2p?c2q?pq.p?qqc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=

AD?注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式

2S?ABC??2b2?2c2?a2.2

141414（2）海伦公式：因为

b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2

?(b2?c2?a2)2?1?1???224bc??16[(b+c)2-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).

p?这里

a?b?c.2

所以S△ABC=

p(p?a)(p?b)(p?c).

二、基础例题【必会】

1．面积法

例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足?POQ??,?QOR??，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0,

?)，则P，Q，R的共线的充要条件是

sin?sin?sin(???)??.uvw

【证明】P，Q，R共线

?SΔPQR?0?S?OPR?S?OPQ?S?ORQ

?111uvsin2(α+β)=2uwsinα+2vwsinβ

?sin(???)sin?sin???wuv，得证。

2．正弦定理的应用

例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB。

求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【证明】 过点P作PD?BC，PE?AC，PF?AB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以?EDF=?PDE+?PDF=?PCA+?PBA=?BPC-?BAC。由题设及?BPC+?CPA+?APB=3600可得?BAC+?CBA+?ACB=1800。 所以?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB=600。 所以?EDF=600，同理?DEF=600，所以△DEF是正三角形。

所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin?ACB=APsin?BAC=BPsin?ABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：

例3 如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PA?BC。 【证明】 延长PA交GD于M，

GMO1AAF??.MDAO2AE

因为O1G?BC，O2D?BC，所以只需证

APAFPAAE?,?由正弦定理sin(???1)sin?sin(???2)sin?， AEsin?1sin???.AFsin?2sin?所以

GMPMMDPM?,?sin?2， 另一方面，sin?sin?1sin?GMsin?2sin???sin?1sin?， 所以MDGMAF?AE，所以PA//O1G， 所以MD即PA?BC，得证。

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.

例4 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

?8xy?yz?zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.

所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。

P?例5 设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求

223??a2?1b2?1c2?1的最大值。

a?c【解】 由题设b?1?ac，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,

1?10?10?3?sin????3?3， ?则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤32

?11022.,b?2,c?32324当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=

1.2例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<

?????0,?【证明】 设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β?2?. 1因为a, b, c为三边长，所以c<2, c>|a-b|，

??????0,?从而

?4?，所以sin2β>|cos2α·cos2β|.

因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

=sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β

1=4[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] 11=4+4cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) 111>4+4cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=4. 1.2所以a2+b2+c2+4abc<

三、趋近高考【必懂】

1.（2011.湖南卷17）.（本小题满分12分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

csinA?acosC.

（I）求角C的大小；

（II）求3sinA?cos(B??4【解析】：（I）由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC.

)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

因为0?A??,所以sinA?0.从而sinC?cosC.又cosC?0,所以tanC?1,则C?（II）由（I）知B??4

3??A.于是 4