2015中考数学真题分类汇编 - 二次函数填空选择精选50题（含解析）

∴

2

=，解得x1=0（舍去），x2=，

∴﹣x+x=，

∴P点的坐标为（，）；

（Ⅱ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3 则tan∠POB=tan∠BAO，即

=

，

∴

=，解得x1=0（舍去），x2=

，

）；

，

∴﹣x2+x=﹣

∴P点的坐标为（，﹣

综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，﹣（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1）， 抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得

），使得∠POB与∠BCD互余．

，解得

，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分两种情况：

2

①当抛物线y=ax+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．

（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；

22

（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax+bx+c有两个交点，抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；

②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，

（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；

（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个． 根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO， ∴tan∠QOB=tan∠BAO=

=，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛

物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞

（a＜．

舍去）

点评： 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键．

21．（2015?衢州）如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是 ﹣1，4，4+2，4﹣2 ．

2

考点： 二次函数综合题．

分析： 设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5），分别表示出B、Q的坐标，然后根据PQ=BQ，列方程求出a的值． 解答： 解：设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5）， 则点Q为（a，﹣a+3），点B为（0，3）， 当点P在点Q上方时，BQ=

PQ=﹣a+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a+∵PQ=BQ， ∴a=﹣a2+

22

2

=a， a+2，

a+2，

整理得：a﹣3a﹣4=0， 解得：a=﹣1或a=4， 当点P在点Q下方时，BQ=

PQ=﹣a+3﹣（﹣a+2a+5）=a﹣∵PQ=BQ， ∴a=a﹣

2

2

2

=a， a﹣2，

a﹣2，

整理得：a2﹣8a﹣4=0，

解得：a=4+2或a=4﹣2．

综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2，4﹣2故答案为：﹣1，4，4+2，4﹣2．

．

点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，以及两点间的距离，解答本题的关键是设出点P的坐标，表示出PQ、BQ的长度，然后根据PQ=BQ，分情况讨论并求解，难度一般．