（整理）《复变函数论》第四章

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???fn?1n(z)?f(z),

设

f1(z),f2(z),...,fn(z),...

是E上的复函数列，记作{fn(z)}??n?1或{fn(z)}。设函数?(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，序列{fn(z)}都收敛于?(z)，那么我们说此复函数序列在E上收敛于?(z)，或者此序列在E上有极限函数?(z)，记作

n???limfn(z)??(z),

注1、复变函数项级数?fn(z)收敛于f(z)的??N定义可以叙述为：

???0,?N?0,使得当n?N时,有

|?fk(z)?f(z)|??.

k?1n注2、复变函数序列{fn(z)}收敛于?(z)的??N定义可以叙述为：

???0,?N?0,使得当n?N时,有

|fn(z)??(z)|??.

定义4.4如果任给??0，可以找到一个只与?有关，而与z无关的正整数N?N(?)，使得当n?N,z?E时，有

|?fk(z)?f(z)|??.

k?1n或 |fn(z)??(z)|??.

那么我们说级数?fn(z)或序列{fn(z)}在E上一致收敛于f(z)或?(z)。 注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：

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定理4.5柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复函数项级数?fn(z)在

E上一致收敛必要与充分条件是：任给??0，可以找到一个只与?有

关，而与z无关的正整数N?N(?)，使得当n?N,z?E，p=1,2,3,…时，有

|fn?1(z)?fn?2(z)?...?fn?p(z)|??.

柯西一致收敛原理（复函数序列）：复变函数序列{fn(z)}在E上一致收敛必要与充分条件是：任给??0，可以找到一个只与

?有关，而与

z无关的正整数N?N(?)，使得当m,n?N,z?E时，有

|fn(z)?fm(z)|??.

注2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法(优级数准则)：设

{fn(z)}(n?1,2,...在复平面点集)E上有定义，并且设

a1?a2?...?an?...|fn(z)|?an (n?1,2,...),

是一个收敛的正项级数。设在E上，

那么级数?fn(z)在E上绝对收敛且一致收敛。

这样的正项级数?an称为复函数项级数?fn(z)的优级数.

n?1?定理4.6 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设

{fn(z)}(n?1,2,...)在集

E上连续，并且级数?fn(z)或序列{fn(z)}在E上

一致收敛于f(z)或?(z)，那么f(z)或?(z)在E上连续。

定理4.7 设fn(z)(n?1,2,...)在简单曲线C上连续，并且级数?fn(z)或序列{fn(z)}在C上一致收敛于f(z)或?(z)，那么

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????n?1Cfn(z)dz??f(z)dz,

C或

?Cfn(z)dz???(z)dz.

C注1、在研究复函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；

注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。

定义4.5设函数{fn(z)}(n?1,2,...)在复平面C上的区域D内解析。如果级数?fn(z)或序列{fn(z)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或?(z)，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或?(z)。

定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数fn(z)(n?1,2,...)在区域D内解析，并且级数?fn(z)或序列{fn(z)}在D内闭一致收敛于函数f(z)或?(z)，那么f(z)或?(z)在区域D内解析，并且在D内

f(k)(z)??fn(k)(z),

n?1??或

?(k)(z)?limfn(k)(z),(k?1,2,3,...).

n???证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理，

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Cf(z)dz???fn(z)dz?0,

n?1C??精品文档

因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。

其次，设U的边界即圆K也在D内，于是

fn(z)， ?k?1n?1(z?z0)??对于z?K一致收敛于

f(z)。由定理4.7，我们有

(z?z0)k?1??fn(z)1f(z)1dz?dz, ?k?1k?1??KK2?i(z?z0)(z?z0)n?12?i也就是

f(k)(z)??fn(k)(z),(k?1,2,3,...)

n?1??因此，定理中关于级数的部分证明结束。

对于序列，我们也先证明?(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域

U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及

柯西定理，

?Cf(z)dz??limfn(z)dz?limCz???n???C?fn(z)dz?0,

因为根据莫勒拉定理，可见?(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此?(z)在D内解析。

其次，设U的边界即圆K也在D内，于是

fn(z)，

(z?z0)k?1对于z?K一致收敛于

?(z)(z?z0)k?1。由定理4.7，我们有

fn(z)1?(z)1dz?limdz

2?i?K(z?z0)k?12?i?Kn???(z?z0)k?1精品文档