（整理）《复变函数论》第四章

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第四章 解析函数的幂级数表示方法

第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：

z1?a1?ib1,z2?a2?ib2,...,zn?an?ibn,...在这里，zn是复数，

Rezn?an,Imzn?bn,一般简单记为{zn}。按照{|zn|}是有界或无界序列，

我们也称{zn}为有界或无界序列。

设z0是一个复常数。如果任给??0，可以找到一个正数N，使得当

n>N时

|zn?z0|??,

那么我们说{zn}收敛或有极限z0，或者说{zn}是收敛序列，并且收敛于z0，记作

n???limzn?z0。

如果序列{zn}不收敛，则称{zn}发散，或者说它是发散序列。

令z0?a?ib，其中a和b是实数。由不等式

|an?a|及|bn?b|?|zn?z0|?|an?a|?|bn?b|

容易看出，limzn?z0等价于下列两极限式：

n???n???liman?a,limbn?b,

n???因此，有下面的注解：

注1、序列{zn}收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列{an}收敛（于a）以及序列{bn}收敛（于b）。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{zn}收敛于

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z0，或者说有极限点z0的定义用几何语言可以叙述为：任给z0的一个

邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当n?N时，n在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是

z1?z2?...?zn?...

z或记为?zn，或?zn，其中zn是复数。定义其部分和序列为：

n?1???n?z1?z2?...?zn

如果序列{?n}收敛，那么我们说级数?zn收敛；如果{?n}的极限是

?，那么说?zn的和是?，或者说?zn收敛于?，记作

?zn?1??n??，

如果序列{?n}发散，那么我们说级数?zn发散。

注1、对于一个复数序列{zn}，我们可以作一个复数项级数如下

z1?(z2?z1)?(z3?z2)?...?(zn?zn?1)?...

则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数

?zn收敛于?的??N定义可以叙述为：

???0,?N?0,使得当n?N时,有

|?zk??|??，

k?1n注3如果级数?zn收敛，那么

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n???limzn?lim(?n??n?1)?0,

n???注4令

an?Rezn,an?Rezn,bn?Imzn,a?Re?,b?Im?，

我们有 ?n??ak?i?bk

k?1k?1nn因此，级数?zn收敛于?的充分与必要条件是：级数?an收敛于a以及级数?bn收敛于b。

注5关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：

定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）：级数?zn收敛必要与充分条件是：任给??0，可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时，

|zn?1?zn?2?...?zn?p|??

柯西收敛原理（复数序列）：序列{zn}收敛必要与充分条件是：任给

??0，可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，

对于复数项级数?zn，我们也引入绝对收敛的概念： 定义4.2如果级数

|z1|?|z2|?...?|zn|?...

|zn?zm|??收敛，我们称级数?zn绝对收敛。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛

复级数?zn收敛的一个充分条件为级数?zn收敛

注1、级数?zn绝对收敛必要与充分条件是：级数?an以及?bn绝

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对收敛：事实上，有

?|ak?1nk2|及?|bk|??|znk|??ak?bk2k?1k?1k?1nnn??|ak|??|bk|,k?1k?1n

注2、若级数?zn绝对收敛，则?zn一定收敛。

例4.1当|?|?1时，1????2?...??n?...绝对收敛；并且有

1??n?11?????...???,lim?n?1?0

1??n???2n我们有，当|?|?1时，

1????2?...??n?...?

1. 1??定理4.1如果复数项级数?zn'及?zn\绝对收敛，并且它们的和分别为?',?\，那么级数

'\'\'\(zz?zz?...?z?1n2n?1nz1) n?1??也绝对收敛，并且它的和为?'?\。 2、复变函数项级数和复变函数序列：

定义4.3 设{fn(z)}(n?1,2,...)在复平面点集E上有定义，那么：

f1(z)?f2(z)?...?fn(z)?...??

是定义在点集E上的复函数项级数，记为?fn(z)，或?fn(z)。设函

n?1数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，级数?fn(z)都收敛于

f(z)，那么我们说此复函数项级数在E上收敛于f(z)，或者此级数

在E上有和函数f(z)，记作

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