2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）

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一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为（1）证明：PE⊥平面MNF；

（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．

．

【解答】证明：（1）方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=因为MN∥BC，OE∥AB， 所以MN⊥OE，所以MN⊥PE． 又EF=PE=所以

OE，EQ=OE， ，

，OP=OE．

所以△EFQ∽△EOP， 所以

，

所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q， 所以PE⊥平面MNF．

方法二：取AD中点O，连接OE， 交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD， 所以OP⊥平面AC，

，OP=OE．

又因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．

以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标

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系O﹣xyz．

设AB=m，AD=n，则P（0，0，m），E（0，m，0），M（于是所以

=（0，m，﹣m），

=（﹣

）．

，0），F（0，

），

=0，所以PE⊥MF，且MN∩MF=M，

所以PE⊥平面MNF

解：（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD． 因为平面PAD⊥平面AC，所以OP⊥平面AC，

，OP=OE．

以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．

设AB=AD=m，则P（0，0，m），E（0，m，0），B（F（0，于是

），

=（0，m，﹣m），

=（0，﹣，0），

=（﹣

）．

），M（

，0），

设平面BMF的一个法向量为=（x，y，z），

则，令x=1，得=（1，0，2）．

而平面NMF的一个法向量为=所以cos＜

＞=

=

=（0，m，﹣m）．

=﹣

．

由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角， 故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣

．

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20．（12分）已知椭圆

F2分别是椭圆C的左、右焦点，且（1）求椭圆C的标准方程；

过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，

．

（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

【解答】（本题满分12分） 解：（1）∵F（0，1），∴b=1，又∴

．又a2﹣b2=c2，∴a=2，

．

，即

，

∴椭圆C的标准方程为

（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），则

，

联立直线与椭圆，消去y，整理得．

由，得．

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设A（x1，y1），B（x2，y2），则：

．

则

原点O到直线l的距离故

=

当且仅当

，即

△

．

OAB

面

，

取等号，

积

故△OAB面积的最大值为1．

21．（12分）已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．

（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；

（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0． ①求证：x2＞e；

②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）当b=0时：h（x）=kx， 由f（x）≥h（x）≥g（x）知：ex≥kx≥lnx， 依题意：设

当x∈（0，1）时m′（x）＜0； 当x∈（1，+∞）时m′（x）＞0， ∴[m（x）]min=m（1）=e， 设

，

对x∈（0，+∞）恒成立，

，

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