2020年中考数学重点难点专项训练：规律探究问题

（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题． 小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明（1）中的命题．

【解析】（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝

，BG＝

，DF＝

，

∴+＞．

故答案为：+＞．

（2）方法一：∵∵n＞1，

+﹣＝＝，

∴n（n﹣1）（n+1）＞0， ∴

+

﹣

＞0，

∴+＞．

方法二：∵＝＞1，

∴+＞．

17. (2019 山东省威海市) （1）方法选择

如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD． 小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM… 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD… 请你选择一种方法证明． （2）类比探究 探究1

如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论． 探究2

如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ． （3）拓展猜想

如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．

【解析】（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，

如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM， ∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴△ADM是等边三角形， ∴AM＝AD， ∵∠ABM＝∠ACD， ∵∠AMB＝∠ADC＝120°， ∴△ABM≌△ACD（AAS）， ∴BM＝CD，

∴BD＝BM+DM＝CD+AD； （2）类比探究：如图②， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°， 过A作AM⊥AD交BD于M， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴AM＝AD，∠AMD＝45°， ∴DM＝

AD，

∴∠AMB＝∠ADC＝135°，

∵∠ABM＝∠ACD， ∴△ABM≌△ACD（AAS）， ∴BM＝CD， ∴BD＝BM+DM＝CD+

AD；

探究2如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°， 过A作AM⊥AD交BD于M， ∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴∠AMD＝30°， ∴MD＝2AD，

∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°， ∴△ABM∽△ACD， ∴

＝

，

∴BM＝CD，

CD+2AD； CD+2AD；

CD+

AD；

∴BD＝BM+DM＝故答案为：BD＝

（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝

理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°，

过A作AM⊥AD交BD于M，