永冻土层热传导问题数学建模

最小成本。用Q表示成本，

min Q=1400?2.8l1+2300?167l2+1600?0.07l3+400?1l4（7）

同时添加对各层压强的限制，使各层所承受压强大于路基建设所应承载的最小压强值。同时，分析数据知，

压实度=1?100%?95%（8）

1?(含水率)基于以上分析，用r表示含水率，以（7）为目标函数，（8）为约束条件建立优化模型如下：

min Q=14002.8l1+2300?167l2+1600?0.07l3+400?1l4??1400?10l1?700??2300?10l2?2760? s..t?1600?10l3?960?400?10l?4004??1?0.95??1?r5.3.2问题三模型的求解

（9）

由于问题三是在结合温度分布、成本、耐用性多种因素的基础上对厚度问题

进行的研究，所以需要考虑各个因素的相关数据，以及各个因素之间的相互关系，具体的求解步骤如下：

（1）查阅资料对温度与水分含量的关系给出合理的拟合关系，并得出具体函数公式；

（2）对压强和压实度的影响因素进行化简，得到相应的约束关系；

（3）列出压实度大于95%时的目标函数，在Lingo中求解线性规划问题即可。

5.3.3问题三模型的结果分析

针对5.3.1中的模型，按照5.3.2中的求解步骤，首先利用Matlab求解得出温度随水分变化的函数关系式为：

y =-4.139+33.95cos(0.01754x)+3.358sin(0.01754x)（10）

所画出的函数图像为：

9

图6 温度与水分的拟合图像

拟合度数据如下：

gof = sse: 0.6035 rsquare: 0.9991 dfe: 5

adjrsquare: 0.9985 rmse: 0.3474

有数据可以看出，温度与水分的函数关系拟合得较为合理。 对所列出的目标函数与约束条件，运用Lingo编程求解，解得压实度大于95%时的目标函数所取得最小值为46334.72元。此时，第一、二、三、四层的厚度分别为5cm，12cm，6cm，10cm。同上分析，可以看出此数据与实际施工情况中的数据相差较小，故可作为本题的求解。 5.4模型四的建立与求解

由题目可知，问题四要求结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并给施工单位给出合理建议。在对之前问题求解的基础上，得出合理的分析与建议。 5.4.1问题四模型的建立

问题一、二中选取的数据即是青藏铁路路基建设的相关数据，同时将外界环境温度设定为拉萨市最近24小时的温度。故由此所得的厚度范围即为对青藏铁路永冻土层地基建设的仿真[9]。 5.4.2问题四模型的求解

由上所述原理对问题四进行求解，具体求解步骤如下：

（1）由以上三个问题的求解，给出各材料层最佳厚度取值表； （2）通过对所得结果进行分析，给出施工工人的合理化建议。 5.4.3问题四模型的结果分析

由以上问题的求解，可以得出如下结果：

表3 各材料层最佳厚度取值表

10

材料层 沥青层（石油沥青） 混凝土层（c30混凝土） 干砂石 防水隔温层（乳化沥青膨胀珍珠岩） 厚度 5cm 12cm 6cm 10cm 通过对数据与国家青藏铁路路基建设进行比对，以上所得求解数据基本符合铁路建设规范，故可以作为本问题的仿真结果。 5.4.3问题四模型求解对施工工人的建议

（1）由以上求解可以给出各层材料大致的厚度取值，可将此作为一个基本的施工参照给施工工人一定的理论指导；

（2）由于模型建设中提出了相应的假设，故在实际问题的施工时，相关施工单位可结合自身施工经验对厚度取值进行一定的调整，同时也应进行多次项目预试验，以充分考虑铁路承重、修建成本以及后发事故。

6 模型的评价与改进方向

6.1 模型的评价

由于本问题中，模型建立的背景为青藏铁路的修建，同时对于各材料的相关热学参数进行了唯一取值，对于此情况下的铁路路基热传导问题可以合理有效地解决。如果修建环境发生改变便，则各材料层成分以及环境温度均会发生改变，故应对该模型进行改进继而求得新的求解情况。 6.1.1 模型的优点

（1）本模型中，所选取的数据均为与各材料层成分接近程度最大的材料的热学参数，建立的线性模型函数设置合理，对于题中所给问题可以得到满意的求解方案。

（2）算法设计较为合适，计算量较小，能够高效运行出结果。

（3）利用差分代替微分的思维求解一维热传导微分方程模型，可以使材料内界面的条件处理得较为容易。

（4）本模型在前三个问题的求解中，将问题背景设定在青藏铁路的修建中，在一定程度上对问题四的求解提供了较大的帮助。 6.1.2 模型的缺点

（1）问题一中，我们所选取的材料数据并不能充分考虑各层材料成分，温度数据也仅为一个地点24小时内的数据；

（2）问题三中，在考虑压实度时，将半冻砂土层以上材料压缩为一种材料，在一定程度上简化了问题模型。 6.2 模型的改进方向

（1）对于所选取的温度及材料热学数据，可以选取多组求平均值，以使求解结果更具代表性；

（2）求解一维热传导微分方程时，对于初始条件的选取稍有欠缺，可以结

11

合实际情况选择更好的初值条件。

（3）对于差分求解一维热传导微分方程，虽在一定程度上减少了求解困难，但其步长选取不太合理，可以进一步研究问题模型，以选取更合理地步长，以使求解结果与真实值更加接近。

12