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永冻土层热传导问题数学建模

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  • 2025/7/5 6:40:02

最小成本。用Q表示成本,

min Q=1400?2.8l1+2300?167l2+1600?0.07l3+400?1l4(7)

同时添加对各层压强的限制,使各层所承受压强大于路基建设所应承载的最小压强值。同时,分析数据知,

压实度=1?100%?95%(8)

1?(含水率)基于以上分析,用r表示含水率,以(7)为目标函数,(8)为约束条件建立优化模型如下:

min Q=14002.8l1+2300?167l2+1600?0.07l3+400?1l4??1400?10l1?700??2300?10l2?2760? s..t?1600?10l3?960?400?10l?4004??1?0.95??1?r5.3.2问题三模型的求解

(9)

由于问题三是在结合温度分布、成本、耐用性多种因素的基础上对厚度问题

进行的研究,所以需要考虑各个因素的相关数据,以及各个因素之间的相互关系,具体的求解步骤如下:

(1)查阅资料对温度与水分含量的关系给出合理的拟合关系,并得出具体函数公式;

(2)对压强和压实度的影响因素进行化简,得到相应的约束关系;

(3)列出压实度大于95%时的目标函数,在Lingo中求解线性规划问题即可。

5.3.3问题三模型的结果分析

针对5.3.1中的模型,按照5.3.2中的求解步骤,首先利用Matlab求解得出温度随水分变化的函数关系式为:

y =-4.139+33.95cos(0.01754x)+3.358sin(0.01754x)(10)

所画出的函数图像为:

9

图6 温度与水分的拟合图像

拟合度数据如下:

gof = sse: 0.6035 rsquare: 0.9991 dfe: 5

adjrsquare: 0.9985 rmse: 0.3474

有数据可以看出,温度与水分的函数关系拟合得较为合理。 对所列出的目标函数与约束条件,运用Lingo编程求解,解得压实度大于95%时的目标函数所取得最小值为46334.72元。此时,第一、二、三、四层的厚度分别为5cm,12cm,6cm,10cm。同上分析,可以看出此数据与实际施工情况中的数据相差较小,故可作为本题的求解。 5.4模型四的建立与求解

由题目可知,问题四要求结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真,并给施工单位给出合理建议。在对之前问题求解的基础上,得出合理的分析与建议。 5.4.1问题四模型的建立

问题一、二中选取的数据即是青藏铁路路基建设的相关数据,同时将外界环境温度设定为拉萨市最近24小时的温度。故由此所得的厚度范围即为对青藏铁路永冻土层地基建设的仿真[9]。 5.4.2问题四模型的求解

由上所述原理对问题四进行求解,具体求解步骤如下:

(1)由以上三个问题的求解,给出各材料层最佳厚度取值表; (2)通过对所得结果进行分析,给出施工工人的合理化建议。 5.4.3问题四模型的结果分析

由以上问题的求解,可以得出如下结果:

表3 各材料层最佳厚度取值表

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材料层 沥青层(石油沥青) 混凝土层(c30混凝土) 干砂石 防水隔温层(乳化沥青膨胀珍珠岩) 厚度 5cm 12cm 6cm 10cm 通过对数据与国家青藏铁路路基建设进行比对,以上所得求解数据基本符合铁路建设规范,故可以作为本问题的仿真结果。 5.4.3问题四模型求解对施工工人的建议

(1)由以上求解可以给出各层材料大致的厚度取值,可将此作为一个基本的施工参照给施工工人一定的理论指导;

(2)由于模型建设中提出了相应的假设,故在实际问题的施工时,相关施工单位可结合自身施工经验对厚度取值进行一定的调整,同时也应进行多次项目预试验,以充分考虑铁路承重、修建成本以及后发事故。

6 模型的评价与改进方向

6.1 模型的评价

由于本问题中,模型建立的背景为青藏铁路的修建,同时对于各材料的相关热学参数进行了唯一取值,对于此情况下的铁路路基热传导问题可以合理有效地解决。如果修建环境发生改变便,则各材料层成分以及环境温度均会发生改变,故应对该模型进行改进继而求得新的求解情况。 6.1.1 模型的优点

(1)本模型中,所选取的数据均为与各材料层成分接近程度最大的材料的热学参数,建立的线性模型函数设置合理,对于题中所给问题可以得到满意的求解方案。

(2)算法设计较为合适,计算量较小,能够高效运行出结果。

(3)利用差分代替微分的思维求解一维热传导微分方程模型,可以使材料内界面的条件处理得较为容易。

(4)本模型在前三个问题的求解中,将问题背景设定在青藏铁路的修建中,在一定程度上对问题四的求解提供了较大的帮助。 6.1.2 模型的缺点

(1)问题一中,我们所选取的材料数据并不能充分考虑各层材料成分,温度数据也仅为一个地点24小时内的数据;

(2)问题三中,在考虑压实度时,将半冻砂土层以上材料压缩为一种材料,在一定程度上简化了问题模型。 6.2 模型的改进方向

(1)对于所选取的温度及材料热学数据,可以选取多组求平均值,以使求解结果更具代表性;

(2)求解一维热传导微分方程时,对于初始条件的选取稍有欠缺,可以结

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合实际情况选择更好的初值条件。

(3)对于差分求解一维热传导微分方程,虽在一定程度上减少了求解困难,但其步长选取不太合理,可以进一步研究问题模型,以选取更合理地步长,以使求解结果与真实值更加接近。

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最小成本。用Q表示成本, min Q=1400?2.8l1+2300?167l2+1600?0.07l3+400?1l4(7) 同时添加对各层压强的限制,使各层所承受压强大于路基建设所应承载的最小压强值。同时,分析数据知, 压实度=1?100%?95%(8) 1?(含水率)基于以上分析,用r表示含水率,以(7)为目标函数,(8)为约束条件建立优化模型如下: min Q=14002.8l1+2300?167l2+1600?0.07l3+400?1l4??1400?10l1?700??2300?10l2?2760? s..t?1600?10l3?960?400?10l?4004??1?0.95??1?r5.3.2问题三模型的求解 (9)

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