实验四-离散时间系统的频域分析(附思考题程序)

实验四 离散时间系统的频域分析

1.实验目的

（1）理解和加深傅里叶变换的概念及其性质。

（2）离散时间傅里叶变换(DTFT)的计算和基本性质。 （3）离散傅里叶变换(DFT)的计算和基本性质。 2.实验原理

对离散时间信号进行频域分析，首先要对其进行傅里叶变换，通过得到的频谱函数进行分析。

离散时间傅里叶变换(DTFT，Discrete-time Fourier Transform)是傅立叶变换的一种。它将以离散时间nT（其中，T为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）f(nT)变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱F(e)，其频谱是连续周期的。

设连续时间信号f(t)的采样信号为：fsp(t)=￥￥iw?n=-?￥f(nT)d(t-nT)，并且其傅里叶变

换为：F{fsp(t)}=ò?-?f(nT)d(t-nT)e-iwtdt。

￥n=-?这就是采样序列f(nT)的DTFT:：FDTFT(eiwT)=?n=-?f(nT)e-inwT,为了方便，通常将采

样间隔T归一化，则有：FDTFT(eiw)=?n=-?￥f(n)e-inw，该式即为信号f(n)的离散时间傅

1piwinw里叶变换。其逆变换为：f(n)=F(e)edw。 DTFT2pò-p 离散傅里叶变换（DFT ，Discrete-time Fourier Transform）是对离散周期信号的一种傅里叶变换，对于长度为有限长信号，则相当于对其周期延拓进行变换。在频域上，DFT的离散谱是对DTFT连续谱的等间隔采样。 N-1N-1knTNFDFT(wk)=FDTFT(eiwT)=f(nT)e邋n=0-iwnT|w=2pkN=n=0f(nT)e-i2p 长度为N的有限长信号x(n)，其N点离散傅里叶变换为：

X(k)=DFT[x(n)]=x(n)W?n=0N-1knN。

1N-1-knX(k)的离散傅里叶逆变换为：x(n)=IDFT[X(k)]=。 X(k)WN?Nk=0DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域

都是有限长序列。 3.实验内容及其步骤

（1）复习傅里叶变换的定义及其性质，加深理解。 （2）熟悉离散时间傅里叶变换的概念及其性质。

参考一：计算离散时间傅里叶变换，并绘制图形。 已知有限长序列x(n)={1,2,3,4,5}。

n=-1:3;x=1:5;k=0:500;w=(pi/500)*k;X=x*(exp(-j*2*pi/500)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X);realX=real(X);imagX=imag(X); subplot(2,2,1);plot(w/pi,magX);grid;

xlabel('');ylabel('模值 ');title('模值部分'); subplot(2,2,2);plot(w/pi,angX);grid;

xlabel('pi为单位');ylabel('弧度');title('相角部分'); subplot(2,2,3);plot(w/pi,realX);grid;

xlabel('');ylabel('实部');title('实部部分'); subplot(2,2,4);plot(w/pi,imagX);grid;

xlabel('pi为单位');ylabel('虚部');title('虚部部分'); 参考二：计算离散时间傅里叶变换。% Evaluation of the DTFT

H(e-iw2+e-iw)=-iw

1+0.6eclf;

% Compute the frequency samples of the DTFT

w = -4*pi:8*pi/511:4*pi; num = [2 1];den = [1 -0.6]; h = freqz(num, den, w); % Plot the DTFT subplot(2,1,1) plot(w/pi,real(h));grid title('Real part of H(e^{j\\omega})')

xlabel('\\omega /\\pi'); ylabel('Amplitude'); subplot(2,1,2) plot(w/pi,imag(h));grid title('Imaginary part of H(e^{j\\omega})')

xlabel('\\omega /\\pi'); ylabel('Amplitude'); pause

subplot(2,1,1) plot(w/pi,abs(h));grid title('Magnitude Spectrum |H(e^{j\\omega})|')

xlabel('\\omega /\\pi'); ylabel('Amplitude'); subplot(2,1,2) plot(w/pi,angle(h));grid title('Phase Spectrum arg[H(e^{j\\omega})]')

xlabel('\\omega /\\pi'); ylabel('Phase in radians'); （3）熟悉离散傅里叶变换的概念及其性质

参考一：x(n)=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4)是一个N=16的序列，计算其傅里叶变换。 N=16;n=0:N-1;xn=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4);k=0:1:N-1;

WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk; subplot(2,1,1);stem(n,xn);subplot(2,1,2);stem(k,abs(Xk));

参考二：计算x(n)=8*(0.4).^n,n属于[0,20)的圆周移位xm(n)=x[(n+10)]20R20(n)。 N=20;m=10;n=0:1:N-1;x=8*(0.4).^n;

n1=mod((n+m),N);xm=x(n1+1);subplot(2,1,1);stem(n,x); title('original sequence');xlabel('n');ylabel('x(n)'); subplot(2,1,2);stem(n,xm);

title('circular shift equence');xlabel('n');ylabel('x((n+10))mod 20'); 4.实验用MATLAB函数介绍

在实验过程中，MATLAB函数命令plot, figure, stem, subplot, axis, grid on, xlabel, ylabel, title, clc, mod, freqz等在不同的情况下具体表述也有所不同，应该在实验中仔细体会其不同的含义。 5.思考题

（1）理解离散时间系统的频域分析，掌握和加深对傅立叶变换及其性质的理解。 （2）计算一个N=12的序列x(n)=cos(n*pi/6)的离散时间傅里叶变换。 >> N=12; n=0:N-1; k=0:1:N-1; >> x=cos(n*pi/6);

>> X=x*(exp(-j*2*pi/N)).^(n'*k);

>> subplot(2,1,1);stem(n,x);legend('x[n]');

>> subplot(2,1,2);stem(n,abs(X));legend('X[k]');

（3） 求x1(n)=(0.8).^n，其中n属于[0,10]与x2(n)=(0.6).^n，并且n属于[0,18]的圆周卷积（N=20）。先构造一个计算圆周卷积的函数进行计算。 function y=circonv(x1,x2,N) if length(x1)>N

error('N should bigger than or equal to the length of x1!'); end

if length(x2)>N

error('N should bigger than or equal to the length of x2!'); end

x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))]; x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))]; m=0:1:N-1; H=zeros(N,N);

for n=1:1:N

H(n,:)=cirshift(x2,n-1,N); end

y=x1*H';

function y=cirshift(x,m,N) if length(x)>N

error('N should bigger than or equal to the length of x!'); end

x=[x zeros(1,N-length(x))]; n=0:1:N-1; n=mod(n-m,N); y=x(n+1);

>> n1=0:10;x1=(0.8).^n1; >> n2=0:18;x2=(0.6).^n2; >> N=20;

>> y=circonv(x1,x2,N);

>> subplot(3,1,1);stem(n1,x1);legend('x1(n)'); >> subplot(3,1,2);stem(n2,x2);legend('x2(n)'); >> subplot(3,1,3);stem(0:N-1,y);legend('y(n)');

6.实验报告要求

（1）明确实验目的以及实验的原理。

（2）通过实验内容分析离散时间信号的性质。

（3）完成思考题的内容，对实验结果及其波形图进行分析对比，总结主要结论。