大一高数（下）期末考试总结，期末考试必备

河北科技大学2003级 高等数学（下）期末考试试题1

一、填空题（共15分）

1. (5分) 微分方程y???3y??2y?0的通解为 . 2. (5分) 设D是平面区域|x|?2,|y|?1,则??x(x?y)d?? .

D3. (5分) 设z?f(exy),其中f可微,则dz二、选择题（共15分）

?? . 1. (5分) 若?anxn在x??2处收敛，则此级数在x?1处( ).

n?1 (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C) 发散; (D)收敛性不确定.

?2. (5分) limun?0是级数?un收敛的( ).

n??n?1(A)充分条件; (B)必要条件;

(C)充分必要条件; (D)既不充分也不必要的条件.

3. (5分) 已知(x2sinx?ay)dx?(ey?2x)dy在xoy坐标面上是某个二元 函数的全微分,则a = ( ).

(A) 0; (B) 2; (C) ?1 ; (D) ?2; 三、解答题（共56分）

1.（7分）已知曲线x?t,y?t2,z?t3上P点处的切线平行于

平面x?2y?z?4,求P点的坐标.

2.（7分）设z?f(xy , ) , f具有二阶连续的偏导数,求

xy2?z?x?y2.

3.（7分）计算曲线积分I??L(esiny?y)dx?(ecosy?1)dy其中L为

xx由点A(a , 0)至点O(0 , 0)的上半圆周y?ax?x2(a?0).

4.（7分）将f(x)?arctanx展开成关于x的幂级数. 5.（7分）判别级数?(?1)nn?1?lnnnn的敛散性.

?6.（7分）求幂级数?n?1(x?3)n?3n的收敛域.

7.（7分）计算曲面积分

I????(x?1)dydz?(y?2)dzdx?(z?3)dxdy

333其中?为球面x2?y2?z2?a2(a?0)的内侧.

8.（7分）试写出微分方程2y???5y??x?cos2x的特解形式. 四、应用题（8分）

在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a?0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.

五、证明题（6分）

证明：曲面3z?x?g(y?2z)的所有切平面恒与一定直线平行，

其中函数g可导.

评分标准（A卷）

一、(每小题4分)

1.y?C1e?x?C2e?2x; 2.323; 3.f?(exy)exy(ydx?xdy).

二、(每小题4分)1.(B);二、解答题

2.(B);3.(D).

??21．(7分) 解 曲线在任一点的切向量为T??1,2t,3t?,┄┄┄┄2分

?已知平面的法向量为n??1,2,1?,┄┄┄┄3分

???1令T?n?0,得t??1,t??,┄┄┄┄5分

3于是

111P1(?1,1,?1),p2(?,,?).┄┄┄┄7分

3927解

2．(7分)

?z?x?y2?z?x23?3xf?xyf1??xyf2?, ┄┄┄┄3分

34???yf22??┄┄┄┄7分 ?4xf1??2xf2??xyf113．(7分) 解 添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分

?C(esiny?y)dx?(ecos?1)dy???dxdy?Dxx?a212()??a.┄┄┄4分 228而

?OA(esiny?y)dx?(ecosy?1)dy?0,┄┄┄┄6分 1?a?0??a.┄┄┄┄7分

8811?x22xx?I?124．(7分) 解 ?f?(x)???(?1)xn?0?n2n(x?1),┄┄┄┄3分

?f(x)??(?1)n?0?n12n?1x2n?1┄┄┄┄6分

x?[?1,1].┄┄┄┄7分

n(?1)5．(7分) 解 ?limn??lnnn?limlnn???,

n??1n(或?当n?3时,

?(?1)lnnn?n?lnnn?1n) ┄┄┄┄2分

而?n?11n发散, ??n?1(?1)nlnnn发散. ┄┄┄┄4分

令un?lnnn,则当n?3时un?1?un,且limun?0,┄┄┄┄6分

n??由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛. ┄┄┄┄7分 6．(7分) 解 ?liman?1ann???limn?3nn?1n??(n?1)?3??,?R?3, ┄┄┄┄3分 31又当x?3??3,即x?0时,级数?n?1?(?1)nn收敛; ┄┄┄┄5分

当x?3?3,即x?6时,级数?n?11n发散 ┄┄┄┄6分

故原级数的收敛域为[0,6). ┄┄┄┄7分 7. (7分) 解 利用高斯公式及球坐标有

222I?????(3x?3y?3z)dv ┄┄┄┄3分

???3?0sin?d??0d??0r?rdr┄┄┄┄5分

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