2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲课后作业理含解析

cOFPEPMb因为点M为QF的中点，所以e＝＝＝＝＝3，＝

aOBBEMQa渐近线方程为y＝±x，即y＝±22x.

c2

－1＝22，所以双曲线C的a2

ba

x2y2

2．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，点A，

abB是圆(x＋c)2＋y2＝4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点，且|AF2|∶|BF2|＝5∶3，则双

曲线C的离心率为( )

A．2 B．4 C.2 D．5 答案 B

解析 如图所示，因为圆(x＋c)＋y＝4c的圆心是F1(－c，0)，半径r＝2c，

2

2

2

所以|AF1|＝|BF1|＝2c.由双曲线的定义，得

??|AF2|－|AF1|＝2a，???|BF1|－|BF2|＝2a，

??|AF2|＝2a＋2c，解得?

?|BF2|＝2c－2a.?

??|AF2|－2c＝2a，即???2c－|BF2|＝2a，

2a＋2c5

＝，左边分子分母同2c－2a3

5

因为|AF2|∶|BF2|＝5∶3，所以

2c1＋

2a51＋e5

时除以2a，得＝，即＝，解得e＝4.所以双曲线C的离心率为4.故选B.

2c3e－13－12a3．过双曲线x－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样

2的直线l有( )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案 C

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，由

2

y2

??x＝3，?2y2

x－＝1，?2?

得y＝±2，

∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．

当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－3)，

??y＝kx－3，由?2y2

x－＝1，?2?

2

2

得(2－k)x＋23kx－3k－2＝0.

2222

23k3k＋2当2－k≠0时，x1＋x2＝2，x1x2＝2，

k－2k－2|AB|＝1＋k·＝1＋k·＝1＋k·4

222

2

22

x1＋x2

2

－4x1x2

2

?23k2?212k＋8

?2?－k2－2 ?k－2?

16

k2＋1k2－2

1＋k＝＝4， 2|k－2|解得k＝±

2

，故这样的直线有3条．故选C. 2

x2y2

4.如图，P是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)上一点，A1，A2是其左、右顶点，直线PA1

ab交双曲线C的一条渐近线于点M，直线A2M和A2P斜率分别为k1，k2，若A2M⊥PA1，且k1＋4k2＝0，则双曲线C的离心率为( )

6

A.

5

B．2 C.5 D．4 2

答案 A

m2n2n2b2

解析 设P(m，n)，则2－2＝1，即22＝2，

abm－aa由A1(－a,0)，A2(a,0)，A2M⊥PA1， 可得PA1的斜率为可得PA2的斜率为两式相乘可得nnm＋a1＝－，

k1

1

＝k2＝－k1， m－a4

2

1＝， m－a4

2

n2

b211522

则2＝，即b＝a，c＝a＋b＝a， a422

即e＝＝ca5. 2

y2x2

5．(2018·合肥模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚

ab→

轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点．若M为AF的中点，且|AF|＝6，则双曲线C的方程为________．

答案 y－＝1

4

解析 由题意可得F(0，c)，M(b,0)，则A(2b，－c)．

2

x2

??c4b由题意可得?－＝1，

ab??c＝a＋b，

2

2

222

2

2

2

b2＋c2＝9，

x2y2

解得a＝1，b＝2，

所以双曲线C的方程为y－＝1.

4

6．已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)．当△APF8

7

2

的周长最小时，该三角形的面积为________．

答案 126

解析 如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x－＝1，可知a＝1，c＝3，故

8

2

y2

F(3,0)，F1(－3,0)．

当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.

因为|AF|＝3＋66

2

2

＝15为定值，

所以当|AP|＋|PF1|最小时，

△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线AF1的方程为y＝26x＋66，

??y＝26x＋66，由?2y2

x－＝1，?8?

2

得y＋66y－96＝0，

解得y＝26或y＝－86(舍去)，

11

所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×66－×6×26＝126.

22

C组 素养关

1．双曲线C的中心在原点，右焦点为F?(1)求双曲线C的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，当k为何值时，以线段AB为直径的圆过原点？

?23?

，0?，渐近线方程为y＝±3x. ?3?

8