2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲课后作业理含解析 - 图文

高考数学一轮复习第8章平面解析几何：

第8章 平面解析几何 第6讲

A组 基础关

1．(2019·唐山统考)“k<9”是“方程A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 ∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴

25－kk－9“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.

25－kk－9

5

2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1

13的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )

A.2－2＝1 43C.2－2＝1 34答案 A

解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为2－2＝1. 43

＋＝1表示双曲线”的( ) 25－kk－9

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

x2y2

x2y2

x2y2

x2y2x2y2

B.D.

x2

13

2

－2＝1 5－2＝1 12

y2

x2

13

y2

2

x2y2

x2y2

3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为

ab( )

A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±答案 A

23x D．y＝±x 22

cb2c2－a22b解析 ∵e＝＝3，∴2＝2＝e－1＝3－1＝2，∴＝2.因为该双曲线的渐近线

aaaa方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x，选A.

4．与椭圆＋y＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( ) 4A.－y＝1 4C.－＝1 33

bax2

2

x2

2

B.－y＝1 2D．x－＝1

2

1

2

x2

2

x2y2y2

答案 B

解析 解法一：椭圆＋y＝1的焦点坐标是(±3，0)．

4

x2

2

x2y2

设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab因为双曲线过点P(2,1)， 4122

所以2－2＝1，又a＋b＝3，

ab解得a＝2，b＝1，所以所求双曲线方程是－y＝1.

2

22

x2

2

x2y2

解法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，

4－λ1－λ将点P(2,1)的坐标代入可得

41＋＝1， 4－λ1－λ解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为－y＝1.

2

x2

2

x2y222

5．已知双曲线2－＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x＋y－4x＋3＝0相切，则该双

a3

曲线的实轴长为( )

A．3 B．6 C．9 D．12 答案 B

解析 圆C的标准方程为(x－2)＋y＝1，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r＝1.双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到

2

2

babax2y222

渐近线的距离d＝2＝1，所以3b＝a.由2－＝1，得b＝3，则a＝9，所以2a＝6.2

a3a＋b|2b|

2

2

故选B.

2π

6．(2019·厦门模拟)△ABC中，∠B＝，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E3→→→

上，若(BA＋BC)·AC＝0，则E的离心率为( )

A.5－1 C.

3－1

2

B.3＋1 D.

3＋1

2

答案 D

→→→→→→→→

解析 设线段AC的中点为D，则BA＋BC＝2BD，因为(BA＋BC)·AC＝0，所以BD·AC＝0，2π

所以BD⊥AC，所以AB＝BC.因为B(c,0)，BC＝AB＝2c，且∠ABC＝，所以点C的坐标为

3(2c，3c)．

2

2222

x2y24c3c4c3c324

代入2－2＝1得2－2＝1，所以2－2＝1，所以4e－＝1，整理得4e－2

ababac－a1

1－2

e8e＋1＝0，又e>1，解得e＝

2

2

3＋1

. 2

7．已知双曲线C：x－＝1，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M4为AB的中点，则直线l的方程为( )

A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0 C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0 答案 A

??4x1－y1＝4，

解析 设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则?22

?4x2－y2＝4，?

2

2

y2

两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为M(2,1)是线段AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0， 所以kAB＝

y1－y216

＝＝8， x1－x22

故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.

8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为

→→5－1

，2

此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．

答案

5＋1

2

x2y2

解析 设“黄金双曲线”方程为2－2＝1，

ab则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)． 在“黄金双曲线”中， →→→→

因为FB⊥AB，所以FB·AB＝0.

3

→→

又FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)．

所以b＝ac.而b＝c－a，所以c－a＝ac. 在等式两边同除以a，得e＝

2

2

2

2

2

2

2

5＋1

. 2

2

9．(2019·武汉模拟)已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右

3→→

支上一点，则PA1·PF2的最小值为________．

答案 －2

解析 由题意可知A1(－1,0)，F2(2,0)． 设P(x，y)(x≥1)，

→→→→2222则PA1＝(－1－x，－y)，PF2＝(2－x，－y)，PA1·PF2＝x－x－2＋y＝x－x－2＋3(x－1)＝4x－x－5.

1→→2

因为x≥1，函数f(x)＝4x－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，PA1·PF2取

8得最小值－2.

2

y2

x2y2

10．(2018·唐山模拟)P是双曲线2－2＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且

ab焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________．

答案 a

解析 ∵点P是双曲线右支上一点， ∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，

若设△PF1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点． 设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点．

由切线长定理，则有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F2A|＝(c＋x)－(c－x)＝2x＝2a，所以x＝a.

所以内切圆圆心的横坐标为a.

B组 能力关

x2y21．(2018·河南天一大联考)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，

abB，点F为双曲线C的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双

曲线C的渐近线方程为( )

A．y＝±22x C．y＝±3x 答案 A

解析 连接BQ，则由双曲线的对称性易得∠PBF＝∠QBF，∠EAB＝∠EBA，所以∠EAB＝∠QBF，所以ME∥BQ，在△PME和△PQB中，有＝，在△BPF和△BEO中，有＝，又

B．y＝±5x D．y＝±6x

PEPMBEMQOFPEOBBE 4