辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试 数学（理）--带答案

uuurrruuurCP?n3rr?所以cos?n,CP??uuu， |CP||n|4所以直线PC与平面MCD所成角正弦值为20.(本小题满分12分)

3 . ………………12分 4【详解】(1)f?x?的定义域为?0,???，f??x??对于函数y?ax?1，

①当a?0时，y?ax?1?0在x?0恒成立.

?f??x??0在?0,???恒成立.?f?x?在?0,???为增函数；

② 当a?0时，由f??x??0，得0?x??由f??x??0，得x??1； a11?f?x?在(0,?)为增函数，在(?,??)减函数.

aa综上，当a?0时，f?x?的单调递增区间为(0,??)

的1ax?1?a??x?0?， xx1； a1a1,??) ax当a?0时，f?x?的单调递增区间为(0,?)，单调递减区间为(? ………………4分 （2）F?x??f?x??g?x??lnx?x?ax?x?e2?x?0?，

x2e?lnx?xQF?x?存在不动点，?方程F?x??0有实数根，即a?有解，

x ………………5分

ex?x2?lnx令h?x???x?0?，

x·9·

h??x??ex?x?1??lnx??x?1??x?1?x2e??x?x?1?x?1??lnxx2?，………………6分

令h??x??0，得x?1，

当x??0,1?时，h?x??0，h?x?单调递减； 当x??1,???时，h??x??0，h?x?单调递增；

?h?x??h?1??e?1， ………………8分

设I(x)?lnx?x,则I(x)?'1?1,Imax(x)?I(1)??1?0,即x?0时,lnx?x x将lnx?x两边取指数,则x?ex ………………10分

ex?x2?x1?x2?x1当x?0时,h(x)????x?1???

xxx?x?x2?x当x???时 , h(x)??x???

x当a?e?1时，F?x?有两个不同的不动点，

………………12分

21.(本小题满分12分)

【详解】（Ⅰ）解：设Px,y,Am,0,B0,n.

()()()uuuvuuuvQBP=3PA，

ì?x=3m-3x.

\\(x,y-n)=(m-x,-y)=(3m-3x,-3y)，即í??y-n=-3yì4?m=x22\\í3. 又AB=4，\\m+n=16. ??n=4y16x2从而+16y2=16.

9·10·

x2\\曲线C的方程为+y2=1. ………………4分

9（Ⅱ）由题意可知，直线DM的斜率存在且不为0．

故可设直线DM的方程为y?kx?1，由对称性，不妨设k?0，

由?则

?y?kx?12?x2?9y?9?0，消去y得(1?9k2)x2?18kx?0，

18k， ………………6分

|DM|?1?k1?9k22181?k21将式子中的k?0换成?，得：|DN|?． ………………7分 2k?9kS?DMN118kk2?118k2?11 ?|DM||DN|?21?9k2k2?9231162(k?)162(k?k)k?， ………………9分 ?49k?82k2?982?9(k2?1)k21?t，则t?2． k16216227162t648??故S?DMN?2，取等条件为9t?即t?， ?9t?649t?6429?648t3t设k?即k?4?71827时，SDMN取得最大值． ………………12分 ?，解得k?3k3822.(本小题满分10分)【选修4－4：坐标系与参数方程】

?x?3?2cos?,22解：（1）由?得?x?3???y?2??4，

?y??2?2sin?,即x?y?6x?4y?9?0，

故曲线C的极坐标方程为??6?cos??4?sin??9?0. 射线L的直角坐标方程为

222y??x?x?0?. ………………5分

（2）将??7?2代入??6?cos??4?sin??9?0， 4·11·

得??6??222?4???9?0，即?2?52??9?0， 22则?1??2?52，?1?2?9，

所以OA?OB?OB?OA?OA?OB?OA?OB??1?2??1??2??452. ………………10分 23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】 解：（1）因为f?x??g?x?，所以ax?1?ax?2， 两边同时平方得a2x2?2ax?1?a2x2?4ax?4， 即6ax??3， 当a?0时，x??22??1； 2a1. ………………5分 2a当a?0时，x??（2）因为f?x??g?x??ax?1?ax?2??ax?1???ax?2??3， 所以f?x??g?x?的最小值为3，

所以2?10?7?3，则?3?2?10a?7?3， 解得lg2?a?lg5，

故a的最大值与最小值之和为lg2?lg5?lg10?1. ………………10分

a·12·