2010年中考数学压轴题精选（一）及答案

2010中考数学压轴题精选（一）

令函数y?(4a4a2?1)?3 ∵在1

4a2∴4?(?1)?3?12 ∴2?(?1)?3?23 ∴2?x1?x2?23

2★★6、（2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA?82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?142x?bx?c经过B、P两点，过

线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

C y B Q O x P A 解：（1）∵CQ＝第t，OP= 2t，CO=8 ∴OQ=8－t 26题图12222∴S△OPQ＝

(8?t)?2t??t?42t（0＜t＜8）

（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ ＝8?82?12?82t?12?8?(82?2t)＝322

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°

又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ，

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2010中考数学压轴题精选（一）

∴8?t82?2t?2t8解得：t＝4

经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时P（42，0） ∵B（82，8）且抛物线y?∴抛物线是y?14214x?bx?c经过B、P两点，

2x?8

2x?22x?8，直线BP是：y?14m?22m?8)

2设M（m, 2m?8）、N(m，

∵M在BP上运动 ∴42?m?82 ∵y1?14x?22x?8与y2?22x?8交于P、B两点且抛物线的顶点是P

∴当42?m?82时，y1?y2 ∴MN?y1?y2＝?14(m?62)?2 ∴当m?62时，MN有最大值是2

2∴设MN与BQ交于H 点则M(62,4)、H(62,7) ∴S△BHM＝

12?3?22＝32 ∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝32:(322?32)＝3:29 ∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．

★★7、（2010常德）如图9，已知抛物线y?（1，0）两点，与y轴交于C点.

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12x?bx?c与x轴交于点A（-4，0）和B

22010中考数学压轴题精选（一）

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当?CEF面积的2倍时，求E点的坐标；

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.

解：（1）由二次函数y?12?12(?4)?4b?c?0，??2 ? 解得：

12??1?b?c?0．??2x?bx?c与x轴交于A(?4,0)、B(1,0)两点可得：

2的面积是?BEFy A O B x

C 图9

3??b?，2 ??c??2．?x?2．

故所求二次函数的解析式为y?（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴

BFCF53?12,BFBC?1312x?232.，

∵EF//AC，∴?BEF??BAC, ?BFE??BCA，∴△BEF～△BAC， ∴

BEBA?BFBC?13,得BE?,故E点的坐标为(?23,0).

（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．

1???2?0?b,?k??,若设直线AC的解析式为y?kx?b，则有? 解得：?2

0??4k?b．??b??2．?1故直线AC的解析式为y?－?123?x?2．若设P点的坐标为?a,a?a?2?，

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2010中考数学压轴题精选（一）

又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则Q点的坐标为（a,?12a?2)．则有：PQ?[?(122a??2

232a?2)]?(?12a?2)＝?12a?2a

2＝?12?a?2?即当a??2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）

解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD?AB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可.

设P点坐标为（x0,y0)，则有：S?APC?S?ADP?S梯形DPCO?S?ACO ＝

12AD?PD?1212(PD?OC)?OD?1212OA?OC 12?4?2

＝?x0y0?2y0???y0?2????x0?? ＝?2y0?x0?4

3?12?＝?2?x0?x0?2??x0?4

2?2?＝?x20?4x0 ＝－?x20?2??4

2即x0??2时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标为（－2，－3）

★★8、（2010常德）如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ①求证：AG⊥CH;

②当AD=4，DG=2时，求CH的长。

A B

G G F D E

A F E D

A

H F

M D

E 图110

C

B 图11

20

C

B

C

图12