2010年中考数学压轴题精选（一）及答案

2010中考数学压轴题精选（一）

★★2、（2010北京）问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究?DBC与?ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

(1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ；可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ； (2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

B

A C

解：(1) 相等；15?；1：3。

(2) 猜想：?DBC与?ABC度数的比值与(1)中结论相同。

证明：如图2，作?KCA=?BAC，过B点作BK//AC交CK于点K， 连结DK。∵?BAC?90?，∴四边形ABKC是等腰梯形，

∴CK=AB，∵DC=DA，∴?DCA=?DAC，∵?KCA=?BAC， ∴?KCD=?3，∴△KCD?△BAD，∴?2=?4，KD=BD， K 4 ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴?ACB=?6，

∵?KCA=2?ACB，∴?5=?ACB，∴?5=?6，∴KC=KB， ∴KD=BD=KB，∴?KBD=60?，∵?ACB=?6=60???1， 5 ∴?BAC=2?ACB=120??2?1， C ∵?1?(60???1)?(120??2?1)??2=180?，∴?2=2?1， ∴?DBC与?ABC度数的比值为1：3。

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6 B 1 2 D 图2

3

A

2010中考数学压轴题精选（一）

★★3、（2010郴州）如图（1），抛物线y?x2?x?4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y?x?b与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；

（2)当b=0时（如图（2）），?ABE与?ACE的面积大小关系如何？当b??4时，上述关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b，使得?BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. BCyyCEOxEOBx AA 图（1） 图（2） 第26题 解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4） （2）当b＝0时，直线为y?x，由??y?x?y?x?x?42解得??x1?2?y1?2，??x2??2?y2??2 所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） S?ABE?12?4?2?4，S?ACE?12?4?2?4

yC所以S?ABE?S?ACE（利用同底等高说明面积相等亦可） 当b??4时，仍有S?ABE?S?ACE成立. 理由如下

??y?x?b?x1?由?，解得?2y?x?x?4???y1?b?4??x2??b?4，? b?4?b??y2??b?4?bBGROFQ所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b）， 作BF?y轴，CG?y轴，垂足分别为F、G，则BF?CG?

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b?4，

2010中考数学压轴题精选（一）

而?ABE和?ACE是同底的两个三角形， 所以S?ABE?S?ACE.

（3）存在这样的b.

因为BF?CG,?BEF??CEG,?BFE??CGE?90? 所以VBEF?VCEG，所以BE?CE，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，?OBC为直角三角形，因为GE?所以 CE?2?b?4，而OE?b

b2??2，

b?4?b?b?b?4?GC

所以2?b?4?b，解得b1?4,所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.

★★4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线y?ax2?bx?c恰好经过x轴上A、B两点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位? 解：

解：①由抛物线的对称性可知AM=BM

在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC， ∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA． 设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，

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m2?(3)2?(2m)，解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．

2∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，3） ②设抛物线的解析式为y=a（x—2）2+3 代入A点坐标可得a=—3

抛物线的解析式为y=—3（x—2）2+3

③设抛物线的解析式为y=—3（x一2）2+k，代入D（0，3）可得k=53 所以平移后的抛物线的解析式为y=—3（x一2）2+53，平移了53一3=43个单位．

★★5、（2010长沙）已知：二次函数y?ax2?bx?2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a?b?0且a、b为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围． 解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx （2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2

?y??bx2由?得 ax?2(2?a)x?2?0① 2?y?(2?b)x?bx?2 ∵△＝4(2?a)?8a?4(a?1)?12?0

∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ∴两函数有两个不同的交点．

（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ∴x1?x2?∴x1?x2?2(a?2)a?2a?4a222 x1x2?2?2a

4a(x1?x2)?4x1x2＝4a?8a?16a2?(?1)?3

2或由求根公式得出。 ∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1

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