大学物理期末复习题(力学,静电场,电磁学部分)

?Q14??0r?Q24??0R2

当r?R1 时，有V3???rE3?dr?Q1?11??? ???4??0?R1R2?（先用高斯定理求场强E,再用分段积分求电势V)

10.两个很长的共轴圆柱面R1?3.0?10m,R2?0.10m，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V.求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度. 解 由8的结果，两圆柱面之间的电场 E?根据电势差的定义有

?U12??2?? 2??0r?R2R1E?dr??Rln2 2??0R1解得 ??2??0U12lnR2?2.1?10?8C?m?1 R1 E??1?3.74?102V 2??0rr两柱面间电场强度的大小与r成反比. (电势差定义式)

11.在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷密度为?.A点的

R2?，B点的坐标为?3R2?,求电势差UAB. 坐标为?0，[分析] 电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在Oxy平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在改点的电势的一半.据此，可先求出一个完整球面在A、B间的电势差U?AB，再求出半球面时的电势差UAB.由于带电球面内等电势，球面内A点的电势，故

11?VR??VB?? 其中VR?是带电球表面的电势，VB?是带电球面在B点的电势. UAB?U??AB22 解 假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度?的一个完整球面，此时在A、B两

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点的电势分别为

?? VAQ4??0R??R? ?VR?0?R22?R?? VB ??4??0r?0r3?0Q则半球面在A、B两点的电势差 ?UAB??

12.在半径为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为?r.设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为?.试求介质层内的D、E和P.

[分析] 将长直导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面.在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴对称分布.

取同轴柱面为高斯面，由介中的高斯定理可得电位移矢量D的分布.在介质中

1?VR??VB????R（点电荷电势式和电势差定义式） 26?0?????D??0?rE，P?D??0E，可进一步求得电场强度E和电极化强度矢量P的分布.

解 由介质中的高斯定理，有

??D??dS?D?2?rL??L

得 D?在均匀各向同性介质中 E?? 2?rD??0?r?

2??0?rr?????2?rer ?????11? P?D??0E????r?

（有电介质时的高斯定理）

13.设有两个薄导体同心球壳A与B，它们的半径分别为R1?10cm与R3?20cm，并分别带有电荷?4.0?10C与1.0?10C.球壳间有两层介质，内层介质的

?8?7?r1?4.0,外层介质的?r2?2.0，其分界面的半径为R2?15cm.球壳B外为空气.求：（1）

两球间的电势差UAB；（2）离球心30cm的电场强度；（3）2球A的电势.

[分析] 自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上，电场呈球对称分布.取同心球面为高斯面，

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根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布.

由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势 VA???AE?dl

解 （1）由介质中的高斯定理，有

2D?dS?D?4?r?Q1 ?得 D1?D2? E1?Q1e 2r24?rD1?0?r1rD22er R1?r?R

Q14??0?r2r2R3 E2??0?r2?er R2?r?R3

两球壳间的电势差 UAB? ? ??R1E?dl

R3R2?R2R1E1?dl??E2?dl

?11?Q1?11????? ???????4??0?r1?R1R2?4??0?r2?R2R3?Q12 ??6.0?10V （2）同理由高斯定理可得 E3?Q1?Q2e?6.0?103erV?m?1 2r4??0r （3）取无穷远处电势为零，则 VA?UAB???BE3dl?UAB?Q1?Q2?2.1?103V

4??0R3（先由电介质中高斯定理求D分布，再求E分布，再分段积分求V分布）

14. 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感应强度各为多少？

[分析] 应用磁场叠加原理求解.将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度B0?B1?B2?B3. 解 （a) 长直电流对点O而言，它在延长线上点O产生的磁场为零，则点O处总的

???? 11

磁感强度为14圆弧电流所激发，故有: B0??0I8R，方向垂直纸面向外?.

（b) 将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得 .B0?

（c) 将载流导线看作12圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得 B0??0I2R??0I ， 方向垂直纸面向里 ? 2?R?0I?0I?0I?0I?0I，方向垂直纸面向外. ? (矢量和) ????4?R4?R4R2?R4R

15.载流长直导线的电流为I，试求通过矩形线圈ABCD的磁通量.

[分析] 由于矩形平面上各点的磁感应强度不同，故磁通量??BS.为此，可在矩形平面上取一矩形面元dS?ldx?图11?10?b??，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 d??B?dS?矩形平面的总磁通量

??d? 解 由上述分析可得矩形平面的总磁通量 ???0Ildx 2?x??d2d1?0I?Ildldx?0ln2 （积分法四步走） 2?x2?d116.有同轴电缆，其尺寸如图所示.两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑.试计算以下各处的磁感应强度：（1）r?R1;（2）R1?r?R2；（3）R2?r?R3；（4）r?R3.画出B?r图线.

[分析] 同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为r的同心圆为积分路

????径，?B?dl?B?2?r，利用安培环路定理?B?dl??0?I，可解得各区域的磁感强度.

解 由上述分析得

r?R1 B1?2?r??0I?r2 2?R1 12