河北省衡水中学2020届高三数学第二次模拟考试(理)

?数列?an?1?是公比为2，首项为a1?1?1的等比数列 -------------（4分） 21 an?1??2n?1?2n?2 ----------------------（6分）

2②Sn?a1?a2?...?an

?2?1?1?20?1?21?1?...?2n?2?1 ?2?2?2?...2分）

???0???????11n?22n?1??n ?2?n -------------------- （9

1nSn?n2n?12?limn?1?lim?2 ------------------- （12于是limn??n??2an?2n??12?n221?分）

21. 解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y)

x1?x2?x??uuur1uuuruuur1?2

OR?(OP?OQ)?(x,y)?[(x1,y1)?(x2,y2)]??22?y?y1?y2?2?x222 由x?2y?2? ?y2?1，易得右焦点F(1,0) （2分）

2当直线l?x轴时，直线l的方程是：x?1，根据对称性可知R(1,0) 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y?k(x?1) 代入E有(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0

4k2 （5??8k?8?0; x1?x2?22k?12分）

x1?x22k2于是R(x,y): x?; y?k(x?1) ?222k?1消去参数k得x2?2y2?x?0

而R(1,0)也适上式，故R的轨迹方程是x2?2y2?x?0 （8分）

(2)设椭圆另一个焦点为F'，

在?PF'F中?PFF'?1200,|F'F|?2,设|PF|?m，则|PF'|?22?m

由余弦定理得(22?m)2?22?m2?2?2?m?cos1200?m?同理，在?QF'F，设|QF|?n，则|QF'|?22?m 也由余弦定理得(22?n)2?22?n2?2?2?n?cos600?n?222?1

222?1

于是

111122?122?1??????22 （12分） |PF||QF|mn22注：其它方法相应给分,利用焦半径较简单.

22.解：(1) f'?x??4(x2?1)?(4x?t)?2x?2(2x2(x2?1)2??tx?2)(x2?1)2 由于当x?[?,?]时2x2?tx?2?2(x??)(x??)?0，

所以f'(x)?0，故f?x?在??,??上是增函数 (2)当??m??,??n??时，并由①得

f????f?m??f???,f????f?n??f??? ??[f????f???]?f?m??f?n??f????f???

?|f?m??f?n?|?f????f??? Q????t4??t2,???1?f?????2?1?4??2(???)?2????2???2?. 同理f?????2?. 于是f????f????|f????f???|?2|???|

从而有|f?m??f?n?|?2|???|. （3分）

（4分） （6分）

（10分） 12分）

（