2020版高考数学二轮复习专题限时集训8空间向量与立体几何理

教学资料范本 2020版高考数学二轮复习专题限时集训8空间向量与立体几何理 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 9 专题限时集训(八) 空间向量与立体几何 [专题通关练] (建议用时：20分钟) 1．(20xx·泰安一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为( ) A.1 10B.D.2 230 102C. 5D [建立如图所示的空间直角坐标系： ?1??11?则A(1,0,0)，B(0,1,0)，N?，0，1?，M?，，1?，?2??22?1?→?1?→?1∴AN＝?－，0，1?，BM＝?，－，1?， 2??2??2→→cos〈AN，BM〉 →→AN·BM＝ →→|AN||BM|11－×＋1221＋0＋1×430＝＝.故选D.] 115610＋＋1×442234＝2．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝17，则该二面角的大小为( ) A．30° C．60° B．45° D．120° →→→→C [由已知可得CA·AB＝0，AB·BD＝0，如图， →→→→CD＝CA＋AB＋BD， →2→→→2→2→2→2→→∴|CD|＝(CA＋AB＋BD)＝|CA|＋|AB|＋|BD|＋2CA·AB→→→→2AB·BD＋2CA·BD →→2222＝3＋2＋4＋2×3×4cos〈CA，BD〉＝(17)， ＋ 2 / 9 1→→→→∴cos〈CA，BD〉＝－，即〈CA，BD〉＝120°， 2∴所求二面角的大小为60°，故选C.] 3．(20xx·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( ) A．8 C．82 B．62 D．83 C [在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，连接BC1，则∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∠AC1B＝30°.又AB＝AB2，所以在Rt△ABC1中，BC1＝＝23， tan∠AC1B在Rt△BCC1中，CC1＝232－22＝22，所以该长方体AC1，BC＝体积V＝BC×CC1×AB＝82.] 4.(20xx·汕头模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( ) A．MN⊥CC1 B．MN⊥平面ACC1A1 C．MN∥平面ABCD D．MN∥A1B1 D [在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为→则M(1,2,1)，N(0,1,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，MN＝→→→1，－1,0)，CC1＝(0,0,2)，MN·CC1＝0，∴MN⊥CC1，→正确；A(2,0,0)，AC＝(－2,2,0)， →→MN·AC＝0，∴MN⊥AC， ∵AC∩CC1＝C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B正确； ∵平面ABCD的法向量n＝(0,0,1)， →MN·n＝0，又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故C正确； 分别CD1轴，2，(－故AA1(0,2,2)，B1(2,2,2)，∴A1B1＝(2,0,0)， → 3 / 9 ∴MN与A1B1不平行，故D错误．故选D.] 5.(20xx·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( ) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 B [取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN＝EO＋ON＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，33?3?2?3?2222连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM＝MP＋BP＝??＋??＋22?2??2?2＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.] 6.[一题多解]如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，点C是圆周上不同于A，2222B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝3，则二面角A-BC-P的大小为________． π [法一：(几何法)由题意可知AC⊥BC， 3又PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC ∵PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC， ∴BC⊥PC， ∴∠PCA为二面角A-BC-P的平面角． 在Rt△BCA中，AB＝2，BC＝3，∴AC＝1. 在Rt△PCA中，PA＝3， PA∴tan∠PCA＝＝3， ACπ∴∠PCA＝. 3 4 / 9