上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年度高二下学期3月月考数学试题卷及答案解析

，，平面

．

，，

平面，，

解：（2）以为原点，

，，

，

设平面则设平面则设二面角则二面角．

的法向量的法向量

，

为轴，．

，，， ，取

， ，取

为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

，

，

，得，

，得，

的平面角为，

．

的大小为

.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

18.复数所对应的点在点（1）复数

及

为端点的线段上运动，复数满足

，求：

模的取值范围；

（2）复数对应的点的轨迹方程.

【答案】（1）【解析】 【分析】 (1)根据条件可设的范围；

；（2）.

，由此可表示出的模形式，进而得出模

（2）复数对应的点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，将用（1）中的形式进行表示，转化为参数方程，即可解决轨迹方程。 【详解】（1）设（2）

，则

；

；

【点睛】复数形式不确定时，可利用待定系数法，将复数表示出来，然后进行分析解题；求点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，常见方法有常见曲线的定义、参数方程等方法。

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； (II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） . 【解析】

试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值. 试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC=ED. 所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CM∥EB. 又EB

平面PBE，CM平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点） （Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA所以CD⊥平面PAD. 从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角. . 所以PDA=45°

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH. 易知PA⊥平面ABCD， 从而PA⊥CE. 于是CE⊥平面PAH. 所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1， 所以AH=

.

=

， AD=A，

在Rt△PAH中，PH=所以sinAPH=

=.

方法二：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA所以CD⊥平面PAD. 于CD⊥PD.

从而PDA是二面角P-CD-A的平面角. . 所以PDA=45°

AD=A，

由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2. 作Ay⊥AD，以A为原点，以

,

A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以

=（1,0,-2），

=（1,1,0），

=（0,0,2）

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)， 由

得

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.

是设x=2，解得n=(2,-2,1).

=

的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

.