上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年度高二下学期3月月考数学试题卷及答案解析

【答案】【解析】 【分析】 当

与

取得最小时，点必定是点在平面在二面角

上的射影，即在上。

翻折，转化到同

的两个面内，此时可将在两个不同平面上的量通过对平面

一平面上求解。 【详解】解：当点必定是点在平面

与为此将由

在二面角

绕，故当

取得最小时， 上的射影，即在的两个面内，

旋转90°，使得平面

共线且与

与平面

在同一平面内， 取得最小。

上。

垂直时，

在平面内，因为所以，又所以所以得到

， 与=

，

都是等腰直角三角形， ，故

的最小值为

。

【点睛】空间中的最短（长）距离常见方法是通过射影等方法转化为平面上的最值问题。

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

15.在正方体

中，、分别是

、

的中点．

（1）求证：四边形（2）作出直线

与平面

是菱形；

的交点（写出作图步骤）．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）取形再由（2）连接

和中点，连接为平行四边形，

，可得，则

与

，得到四边形的交点，即为直线

，

是菱形； 与平面

的交点．

，

，可证四边形

为平行四边形，四边形

为平行四边形，得到四边

【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示，

则四边形由可得则四边形四边形（2）连接

，， 为平行四边形，则

，

，，

的中点，

为正方体，且，分别为

为平行四边形，，且

，

为平行四边形，由是菱形； 和

，则

与

的交点， ，

，可得，

即为直线与平面的交点，如图所示．

【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．

16.如图，在长方体

中，、分别是棱

、

的中点，

，

，求：

（1）（2）

与所成的角；

所成的角． ；（2）

；

与平面

【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）求直线

与

所成的角，通过可转化为直线与所成的角，然后在中利用余

弦定理解可得； （2）直线射影即为

与平面，所以直线

所成的角，首先要求出与平面分别是棱

在平面

上射影，由长方体可得或其补角，在

在平面

上

所成角的平面角即为的中点

中解得线面角的大小。

【详解】解：因为，所以，所以，直线所以，直线连接在

中，

与与

所成的角即为直线所成的角为

与所成的角

或其补角

，，

由余弦定理解得所以，直线

与

所成的角

（2）因为长方体所以，连接

与平面中，平面

所以直线在所以所以直线

所成角的平面角即为，

，

或其补角，

与平面所成角的平面角即为。

【点睛】异面直线所成角常见解法是通过平行找出异面直线所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小；线面所成角常见解法是通过找出斜线在平面上的射影，射影与其直线所成角即为线面所成角的平面角，然后在三角形中利用解三角形的方法求解角的大小。

17.如图，在空间四边形

中，

平面

，

，且

，

．

（1）若（2）求二面角

，，求证：的大小．

平面；

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）推导出（2）以为原点，能求出二面角【详解】证明：（1）

，为轴，

，从而

.

平面，进而，再由，能证明平面．

为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

的大小．

平面

，

平面

，

，