新北师大版初中数学九年级(下册)知识点归纳总结

北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总

第一章 直角三角形边的关系

※一. 正切：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即．．

tanA??A的对边;

?A的邻边①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二. 正弦： ．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA??A的对边;

斜边※三. 余弦： 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA??A的邻边;

斜边※余切： 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA??A的邻边;

?A的对边※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则 0o 30 o 45 o 60 o 90 o ①sinA?cos(90???A)；

cosA?sin(90???A) 90???A)； ②tanA?cot(cotA?tan(90???A)

※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线

sinα cosα tanα cotα 0 1 0 — 1 23 23 32 22 21 1 3 21 21 0 — 0 3 3 33 所成的锐角称为仰角 ．．

※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．

※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当

角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 ※同角的三角函数间的关系：

倒数关系：tgα·ctgα=1。

图1

※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；

(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：

sinA?a,cbsinB?,cbcosA?,cacosB?,ctanA?a,bbtanB?,abcotA?;

aacotB?;

b11ab?chc(hc为C边上的高); 22a?b?c(5)直角三角形的内切圆半径r?

21 (6)直角三角形的外接圆半径R?c

2(4)面积公式:S??◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

B i=h:l h C A l 图2

图3

图4

※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即．．．．

h?tanA l◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、．．．i?OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如．．．图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

第二章 二次函数

※二次函数的概念：形如y?ax2?bx?c(a、、b、是常数，a?0)的函数，叫做x的二次．．函数。自变量的取值范围是全体实数。 y?ax2(a?0)是二次函数的特例，此时．．

常数b=c=0.

※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。 ．．．．．．．．※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。

①函数的定义域是全体实数；

②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性：

?x?0时,y随x增大而减小;A、当a＞0时? B、当a＜0时

x?0时,y随x增大而增大.??x?0时,y随x增大而增大; ??x?0时,y随x增大而减小.

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0． ※二次函数y?ax?c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线

2※二次函数y?ax2?bx?c的图象是以x??bb为对称轴，顶点在（?，2a2a4ac?b2）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定） 4a※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

※二次函数y?ax2?c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 ※二次函数y?ax2?bx?c的图象与y＝ax2的图象的关系：

y?ax2?bx?c的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下： ①将y?ax2?bx?c配方成y?a(x?h)2?k的形式；（其中h=?4ac?b2k=）；

4ab，2a②把抛物线y?ax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；

③再把抛物线y?a(x?h)2向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到

y?a(x?h)2?k的图象。

※二次函数y?ax2?bx?c的性质：

b24ac?b2二次函数y?ax?bx?c配方成y?a(x?)?则抛物线的

2a4a2①对称轴：x=?2b②顶点坐标：（?b，4ac?b） 2a2a4a③增减性： 若a>0，则当x

若a<0，则当x

bb时，y随x的增大而减小；当x>时，y?．．．．．2a2abb时，y随x的增大而增大；当x>时，y?．．．．．2a2a4ac?b2bb④最值：若a>0，则当x=?时，y最小?；若a<0，则当x=?时，

2a2a4ay最大4ac?b2 ?4a※画二次函数y?ax2?bx?c的图象：