6-1-2.还原问题 题库教师版

还原问题

例题精讲

板块一、单个变量的还原问题

【例 1】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？

【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是

多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。 如果没减去2，此数是：10?2?12 如果没除以2，此数是：12?2?24 如果没乘以3，此数是：24?3?8 如果没加上3，此数是：8?3?5 综合算式?10?2??2?3?3?5 答：原数是5.

【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减

去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是 。 6?6?6）?6?6?1 【解析】 将最终结果进行逆推，得： （

【巩固】 一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗? 【解析】 36?7?24?16?244.

【巩固】 少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你

算一算，共采集了多少个树种子? 【解析】 （25?25）?5?250(个)，即共采集了250个树种子.

【巩固】 (第七届《小数报》数学竞赛决赛填空题第6题)

在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3．同样的运算这样进行了3次，得出结果为27．原来输入的

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数可能是 ．

【解析】 本题用倒推法解．最后结果是27，上一步的结果是54，再上一步的结果是108或51，原来输入

的数是216，105，102．思路如下： ???216??108??105??54??27???102

51???48(不合题意)????24(不合题意)?

【例 2】 牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗? 【解析】 采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应

是多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38?8?30；没除以2时应是：30?2?60；没减去16时应是：60?16?76；没乘以2时应是：76?2?38，即（[38?8）?2?16]? 2?38(岁).

【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，

正好等于4. 请你算一算，我今年几岁？” 【解析】 分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是

多少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。 如果没除以5，此数是：4?5?20 如果没加上6，此数是：20?6?14 如果没乘以7，此数是：14?7?2 如果没减去8，此数是：2?8?10 综合算式：?4?5?6??7?8?10（岁） 答：小康今年10岁。

【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小

朋友，你知道答案吗？

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【解析】 根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果

10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．

10?10?100，100?10?110，110?10?11，11?10?1综合算式为：

（10?10?10）?10?10?（100?10）?10?10?110?10?10?11?10?1所以这个数为1.

解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．

【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？ 【解析】 根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算． 某数+3-5×4÷616

综合算式为：16?6?4?5?3?96?4?5?3?24?5?3?29?3?26

【例 4】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩

小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？ 【解析】 从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100?2?50

(分)，加上10后是50分，没有加上10前应是50?10?40(分)，缩小2倍是40分，那么没有缩小2倍前应是40?2?80(分)，减去6后是80分，没有减去6前应是80?6?86(分)．

综合列式为：(100?2?10)?2?6?40?2?6?86(分) 所以，小刚这次竞赛得了86分．

【例 5】 在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今

年多少岁数?

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【解析】 采用倒推法，(100?10?6)?4?15?79（岁）.

【巩固】 学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位

神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？ 【解析】 这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘10时是多少？没减去

15时是多少？没除以5时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了． ⑴ “乘以10，恰好是2000”，不乘10时，应该是：2000?10?200 ⑵ “减去15”是200，不减15时，应该是：200?15?215 ⑶ “除以5”是215，不除以5，应该是：215?5?1075 ⑷ 现在的年龄加上75是1075，如果不加75，这个数是：1075?75?1000 也就是神仙现在的年龄是1000岁． 验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于2000，如果等于2000，则解题正确．

1000?75?1075，1075?5?215，215?15?200，200?10?2000．

【例 6】 哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写

成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？ 【解析】 被减数十位上的6变成9，使被减数增加90?60?30，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，

使减数减少了9?6?3，这样又使差增加了3，这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577，求正确的差．所以列式得：577?（9?6）?（90?60）?544．这题的正确答案应该是544．

【巩固】 小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，

那么正确的结果应该是多少呢？ 【解析】 我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成了另一

个数(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：

①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了9?6?3 ②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：10?（9?6）?30

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