自动控制原理实验指导书(S)

附录

第四章 离散控制系统分析

4.1 标准PID控制算法

一．实验目的

1. 了解和掌握连续控制系统的PID控制算法的模拟表达式（微分方程）。 2. 了解和掌握被控对象数学模型的建立。 3. 了解和掌握求取广义对象的脉冲传递函数。

4. 了解和掌握数字PID调节器控制参数的工程整定方法。 5. 了解和掌握采用微分方程直接建立后向差分方程的方法。 6. 了解和掌握用MATLAB数字PID仿真被控过程。 7. 了解和掌握用SACT实验箱实验数字PID被控过程。

8. 观察和分析在标准PID控制系统中，P.I.D参数对系统性能的影响。 9. 掌握本实验机的PID控制算法中的特殊使用

二．实验原理及说明

1．数字PID控制

在一个控制系统中，采用比例、积分和微分控制方式控制，称之谓PID控制。它对于被控对象的传递函数G(S) 难以描述的情况，是一种.应用广泛，行之有效的控制方式。数字PID控制器是基于连续系统的计算机数字模拟设计技术，它把输入信号离散化，用数字形式的差分方程代替连续系统的微分方程，对它进行处理和控制。

差分方程是一种描述离散系统各变量之间动态关系的数学表达式，它只能表示连续时间函数在采样时刻的值。通常，都是用后向差分方程进行描述的。此时，该离散系统在k刻的输出信号P(k)，不但与k时刻的输入r(k)有关，而且与k时刻以前输入r(k-1)，r(k-2)，?有关，同时还与k时刻以前的输出c(k-1)，c(k-2)，?有关。

本实验机的数字PID控制实验采用微分方程直接建立差分方程，而第4.5节〈最少拍控制系统〉和第4.6节〈大林算法控制系统〉都是采用Z传递函数建立差分方程。

由微分方程直接建立差分方程，首先须对微分方程离散化，即是用差分方程去逼近微分方程的变化规律，其具体内容包括导数、微分、积分、函数和时间t等参数的离散化。差分方程和微分方程不仅形式上相似，且微分、积分与差分、求和在含义上对应，并在一定的条件下，可以相互转化。

设采样周期T足够小，远小于时间常数τ，当t=kT时，可将微分方程中的导数可用差分项代替，积分项用求和式代替，函数用序列表示，时间t变成离散量kT，即：

t?kT??C(t)?C(k)??dC(t)?cc(k)?c(k?1) （4-2-1）

???dt?tT?tk?1?C(t)dt??C(n)?T??n?0?0用式（4-2-1）就可以把微分方程直接变为差分方程。差分方程的求解有经典法、迭代法和Z变换法。

数字PID控制实验的原理方框图见图4-2-1所示：

图4-2-1 数字PID控制实验的原理方框图

45

AEDK爱迪克自动控制原理实验系统

PID控制算法的微分方程表达式是：

t P(t)?K?e(t)?1e(t)dt?Tde(t)? （4-2-2）

?p?d??Ti0dt?式中，P(t)——调节器的输出信号； e(t)——调节器的偏差信号； KP——调节器的比例系数；

Ti——调节器的积分时间常数； Td——调节器的微分时间常数；

用式（4-2-1）就可以把连续系统的微分方程直接代替用数字形式的差分方程：

?TP(n)?KP?e(n)?Ti??e(j)?j?0n?Td?e(n)?e(n?1)?? （4-2-3） T?式中：T—采样周期； n——采样序号，n=0，1，2，?； P(n)—第n次采样时计算机输出；

e(n)—第n次采样时的偏差值； e(n?1)—第n-1次采样时的偏差值；

离散化的PID位置控制算式表达式为： k p(k)?KPE(k)?KpT?e(j)?KpTd[E(k)?E(k?1)] （4-2-4）

Tij?0T式中：K?TK??积分系数；K?TdK??微分系数。

iPdPTiT2．被控对象数学模型的建立

⑴ 确立模型结构

在工程中PID控制多用于带时延的一阶或二价惯性环节组成的工控对象，即有时延的单容被控过程，

1其传递函数：G0(s)?K0?e??S （4-2-5）

T0S?1有时延的单容被控过程可以用二个惯性环节串接组成的自平衡双容被控过程来近似，本实验采用该方式作为实验被控对象，见图4-2-2所示。

G(s)?K?00⑵ 被控对象参数的确认

对于这种用二个惯性环节串接组成的自平衡双容被控过程的被控对象，在工程中普遍采用阶跃输入实验辨识的方法确认T0和?，以达到转换成有时延的单容被控过程。阶跃输入实验辨识的原理方框图如图4-2-2所示：

11 （4-2-6）

?T1S?1T2S?1

图4-2-2 阶跃输入实验辨识的原理方框图

以T1=0.2S，T2=0.5S K=1为例。示系统运行后，可得其响应曲线，如图4-2-3所示

46

附录

图4-2-3 被控对象的响应曲线

通常取Y0(t1)?0.3Y0(?），从图中可测得t1?0.36S 通常取Y0(t2)?0.7Y0(?），从图中可测得t2?0.84S

t2?t1t?t1T0??2ln[1?y0(t1)]-ln[1?y0(t2)]0.8473 （4-2-7）

2??t2n[1?y0(t1)]?t1ln[1?y0(t2)]1.204t1-0.3567t??ln[1?y0(t1)]-ln[1?y0(t2)]0.8473 由式（4-2-7）计算，其被控对象的参数：T0?0.567S，??0.158S。

可得其传递函数：G0(s)?1e?0.158S

0.56S?1如被控对象中的二个惯性环节的时间常数T2≥10T1，则可直接确定??T1，T0?T2。 3．采样周期的选择

如果采样周期T与被控对象的时间常数能符合下式，则将可获得良好的PID调节效果。

T?0.1??4．求取广义对象的脉冲传递函数

T0??

为了求取数字PID调节器的时间序列输出，必须先求取包括零阶保持器在内的广义对象的脉冲传递函数。本实验是采用二个惯性环节串接组成实验被控对象，如图4-2-2所示，因此应该对该种‘被控对象’求取广义对象的脉冲传递函数。

⑴ 如果被控对象中二个惯性环节的时间常数T1 ≠ T2，则：

令式（4-2-5）中 1/T1??a1/T2?b?1?e?TSab?G0?z??Z??K0???SS?aS?b?????K0ab(a?b)1?z?1Z??(a?b)?S(S?a)(S?b)?

(a＞b）??G0(z)?K01?z?1(a?b)?a?b???1?z??1?b1?e?aTz?1?a1?e?bT? （4-2-8）

z???1⑵ 如果被控对象中二个惯性环节的时间常数T1?T2， 则：

?TS2?1?eG0?z??Z??S?K0??a2?(S?a)?G0(z)?K01?z??1??11aTe?aTz?1? （4-2-9） ????1?aT?1?aT?12?1?z1?ez(1?ez)??引自何克忠 李伟《计算机控制系统》清华大学出版社

注：在计算广义对象的脉冲传递函数时，必须保证小数点后四位有效数，否则将影响计算精度。 5．数字PID调节器控制参数的工程整定方法

数字PID控制参数的工程整定方法产生于式（4-2-5），因此需求得被控对象的参数：To和?。 ⑴ 开环整定法—反应曲线法（动态特性参数法）

把式（4-2-7）求得被控对象的参数：To和?代入下式，求得数字PID调节器参数KP、TI、TD

47

AEDK爱迪克自动控制原理实验系统

KP?1[1.35(?/T0)?1?0.27]K02.5(?/T0)?0.5(?/T0)2 （4-2-10）

TI?T0?1?0.6(?/T0)TD?T0?0.37(?/T0)1?0.2(?/T0)⑵ 闭环整定法—扩充临界比例度法

这种整定方法无须建立被控对象数学模型，可直接在数字PID闭环控制系统上获得数字PID调节器采样周期T，控制参数KP、TI、TD，见图4-2-4所示。

图4-2-4 闭环整定法的原理方框图

设：T1=0.2S，T2=0.5S， Ko=4，采样周期T=0.015秒。图中，Step模块的Step time设置为0.1， Gain模块的Sampie time设置为T＝0.1τ=0.015秒。

Gain模块的K先填入1，逐步增加K值，直至K=24，系统运行后，使之系统出现如图4-2-6所示的等幅振荡响应曲线。

图4-2-6 闭环系统的响应曲线

记录下此时的δk值（δk=1/K=1/24=0.0417），及Tk值（2.05/10=0.205秒）。 按式（4-2-11）求得数字PID调节器采样周期T，控制参数KP、TI、TD

T?0.043?TK?0.043?0.205?0.088KP?0.47?K?0.47?24?11.28?14.37,TI?0.47?TK?0.47?0.205?0.096TD?0.16?TK?0.16?0.205?0.033 注：根据用MATLAB仿真的实验效果来看，系统能稳定，由于KP较大，其调节器输出幅度变化也很大，超出了本实验箱范围，如采用限幅，则系统将不稳定，因此本实验没有采用此方法。

6．用MATLAB仿真被控过程

数字PID的MATLAB仿真被控过程的原理方框图，见图4-2-7所示。

（4-2-11）

48